[논문 리뷰] Measure complexity and Möbius disjointness

Wen Huang, Zhiren Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 20.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 25인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 사르나크의 모비우스 분리 추측을 검증하기 위한 새로운 기준으로 측도 복잡도를 도입하며, 모든 불변 측도가 다항미만 측도 복잡도를 갖는 위상 동역계에서는 추측이 성립함을 증명한다. 핵심 결과는 이산 스펙트럼을 갖는 시스템, 2-토러스 위의 매끄러운 스케일 제품, 테임 시스템, 그리고 특정 스케일 제품 사상들이 모두 다항미만 측도 복잡도를 가지므로 추측을 만족함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, the notion of measure complexity is introduced for a topological dynamical system and it is shown that Sarnak's Möbius disjointness conjecture holds for any system for which every invariant Borel probability measure has sub-polynomial measure complexity. Moreover, it is proved that the following classes of topological dynamical systems $(X,T)$ meet this condition and hence satisfy Sarnak's conjecture: (1) Each invariant Borel probability measure of $T$ has discrete spectrum. (2) $T$ is a homotopically trivial $C^\infty$ skew product system on $\mathbb{T}^2$ over an irrational rotation of the circle. Combining this with the previous results it implies that the Möbius disjointness conjecture holds for any $C^\infty$ skew product system on $\mathbb{T}^2$. (3) $T$ is a continuous skew product map of the form $(ag,y+h(g))$ on $G imes \mathbb{T}^1$ over a minimal rotation of the compact metric abelian group $G$ and $T$ preserves a measurable section. (4) $T$ is a tame system.

연구 동기 및 목표

• 사르나크의 모비우스 분리 추측을 검증하기 위한 새로운 기준—다항미만 측도 복잡도—를 수립하기 위해.
• 이산 스펙트럼을 갖는 시스템 또는 매끄러운 스케일 제품이 모비우스 분리 추측을 만족하는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이전의 닐시스템과 이산 스펙트럼 시스템에 대한 결과를 더 넓은 범위의 위상 동역계에 확장하기 위해.
• $ C^{\infty} $ 스케일 제품 시스템이 $ \mathbb{T}^2 $ 위에서 모비우스 분리 추측을 만족함을 증명하기 위해.
• 새로운 복잡도 이론적 프레임워크를 통해 기존의 결정론적 수열과 모비우스 함수에 관한 결과들을 통합하고 일반화하기 위해.

제안 방법

• 주어진 불변 측도 $ \rho $에 대해, 측도 $ 1-\epsilon $를 가진 집합을 덮기 위해 필요한 $ \overline{d}_n $-구의 최소 수를 사용해 측도 복잡도를 정의한다.
• 측도 복잡도가 함수 $ U(n) $ 보다 약한 것을 정의하고, 모든 $ \tau > 0 $ 에 대해 $ n^\tau $ 보다 약한 것을 다항미만 측도 복잡도로 정의한다.
• 시퀀스 $ N_i $ 에 沿해 경험 측도의 약한* 수렴을 이용해 다항미만 측도 복잡도가 모비우스 분리 추측을 유도함을 증명한다.
• 측도적 동형사상과 회전 불변성을 이용해 모델 시스템에서의 복잡도 추정을 원래 시스템으로 이전한다. 특히 스케일 제품 구성에서 중요하다.
• 함수 해석학의 결과, 예를 들어 $ L^2 $ 에서 궤도의 컴팩턴스를 이용해 $ K(\mathbb{Z}) $-시스템의 함수들이 이산 스펙트럼을 가짐을 보여준다.
• 측도 복잡도가 적합한 거리의 선택과 무관하게 유지됨을 이용해 기준의 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 불변 Borel 확률 측도가 다항미만 측도 복잡도를 갖는 위상 동역계에서 모비우스 분리 추측이 성립하는가?
• RQ2 $ C^\infty $ 스케일 제품 시스템, 특히 무한정일 수 있는 것들까지 포함하여 $ \mathbb{T}^2 $ 위에서 추측을 확장할 수 있는가?
• RQ3 이산 스펙트럼 또는 테임 시스템이 측도 복잡도 성질 덕분에 모비우스 분리 추측을 만족하는가?
• RQ4 측도 복잡도 기준은 측도적 동형사상에 대해 불변이며, 이sov형 시스템 간에 복잡도 한계를 이전하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 이 새로운 복잡도 프레임워크를 통해 닐시스템과 이산 스펙트럼 시스템을 초월하여 모비우스 분리 추측을 만족하는 시스템의 범위를 넓힐 수 있는가?

주요 결과

• 모든 불변 Borel 확률 측도가 다항미만 측도 복잡도를 갖는 위상 동역계에서는 모비우스 분리 추측이 성립한다.
• 이산 스펙트럼을 갖는 모든 시스템은 측도 복잡도가 다항미만이므로 추측을 만족한다.
• $ \mathbb{T}^2 $ 위의 모든 $ C^\infty $ 스케일 제품 시스템은 모비우스 분리 추측을 만족한다. 특히 무리 회전 위에서 호모토피적으로 자명한 경우도 포함된다.
• 콤파クト 아벨 군 $ G $ 의 최소 회전 위에서 $ G \times \mathbb{T}^1 $ 위에 정의된 연속 스케일 제품 사상으로서 가측 섹션을 유지하는 시스템은 다항미만 측도 복잡도 덕분에 추측을 만족한다.
• 테임 시스템은 그들의 불변 측도가 다항미만 측도 복잡도를 가지므로 모비우스 분리 추측을 만족한다.
• 측도 복잡도 기준은 강건하다: 적합한 거리의 선택과 무관하며 측도적 동형사상에 의해 유지되며, 이sov형 시스템 간에 복잡도 한계를 이전하는 데 유용하다.