[논문 리뷰] Measure conjugacy invariants for actions of countable sofic groups

Lewis Bowen|ArXiv.org|2008. 04. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가산 소픽 군의 작용에 대한 측도 동형성 불변량의 가족을 도입하여 콜모고로프-신아이 엔트로피를 일반화한다. 소픽 군에 대해 베르누이 이동은 기저 공간의 엔트로피에 의해 완전히 측도 동형성에 대해 분류 가능하며, 오르누스타이너의 이sov머피 정리가 비아메니블 군인 자유군과 선형군으로까지 확장됨을 증명한다.

ABSTRACT

Sofic groups were defined implicitly by Gromov in [Gr99] and explicitly by Weiss in [We00]. All residually finite groups (and hence every linear group) is sofic. The purpose of this paper is to introduce, for every countable sofic group $G$, a family of measure-conjugacy invariants for measure-preserving $G$-actions on probability spaces. These invariants generalize Kolmogorov-Sinai entropy for actions of amenable groups. They are computed exactly for Bernoulli shifts over $G$, leading to a complete classification of Bernoulli systems up to measure-conjugacy for many groups including all countable linear groups. Recent rigidity results of Y. Kida and S. Popa are utilized to classify Bernoulli shifts over mapping class groups and property T groups up to orbit equivalence and von Neumann equivalence respectively.

연구 동기 및 목표

• 가산 소픽 군에 대한 측도 동형성 불변량을 도입하여, 아메니블 군을 초월한 베르누이 이동의 분류를 확장한다.
• 비아메니블 소픽 군으로의 콜모고로프-신아이 엔트로피를 일반화하여 측도 동형성에 대한 완전한 불변량을 제공한다.
• 비아메니블 군, 특히 자유군과 선형군을 포함한 베르누이 이동의 이sov머피 문제를 해결한다.
• 소픽 군 위의 두 베르누이 이동이 측도 동형일 조건은 기저 공간의 엔트로피가 동일할 때임을 증명한다.
• 비아벨리안 자유군 위의 무한 엔트로피 베르누이 이동은 유한 엔트로피 생성 분할을 갖지 않는다.

제안 방법

• 소픽 근사 $ \Sigma $ 를 사용하여 유한 근사에 대한 정규화된 엔트로피의 극한으로서 소픽 근사 엔트로피 $ h(\Sigma, G, X, \mu) $ 를 정의한다.
• 소픽 근사를 사용하여 유한 분할 $ \alpha $ 과 유한 집합 $ F \subset G $ 에 대해 오차 제어를 위한 $ \epsilon $ 을 포함한 상대 엔트로피 $ H(\Sigma, \alpha : F, \epsilon) $ 를 정의한다.
• 수렴성과 측도 동형성에 대한 불변성을 보장하기 위해 엔트로피 구성의 하향성 및 단조성 성질을 확립한다.
• 소픽 군에 대해 베르누이 이동의 경우 소픽 엔트로피가 기저 공간의 엔트로피 $ H(\kappa) $ 와 일치함을 증명하며, 소픽 군에 대한 샤논-맥밀란 유사 정리(Shannon-McMillan-type theorem)를 적용한다.
• 요약 지도 부등식을 적용: $ (G,X,\mu) $ 가 $ (G,Y,\nu) $ 로 요약 가능하면, 유한 엔트로피 생성 분할 $ \alpha $ 에 대해 $ h(\Sigma, G, Y, \nu) \geq h(\Sigma, G, X, \mu) - H(\alpha) $ 가 성립한다.
• 유한 엔트로피 시스템에서 무한 엔트로피 시스템으로의 요약 지도의 존재를 이용하여, 무한 엔트로피 베르누이 이동에 대해 유한 엔트로피 생성 분할이 존재한다는 가정으로부터 모순을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 소픽 군의 작용에 대해 콜모고로프-신아이 엔트로피를 일반화하는 완전한 측도 동형성 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 소픽 군 위의 두 베르누이 이동이 측도 동형일 조건은 기저 공간의 엔트로피가 동일할 때인가?
• RQ3 비아벨리안 자유군 위의 무한 엔트로피 베르누이 이동은 유한 엔트로피 생성 분할을 갖는가?
• RQ4 오르누스타이너의 이sov머피 정리는 자유군과 선형군과 같은 비아메니블 소픽 군으로까지 확장 가능한가?
• RQ5 소픽 설정에서 요약 지도에 따른 엔트로피의 행동은 어떠한가, 특히 엔트로피가 무한할 경우에 대해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 가산 소픽 군 $ G $ 에 대해, 기저 공간 $ (K, \kappa) $ 의 엔트로피 $ H(\kappa) < \infty $ 이면, 베르누이 이동 $ (G, K^G, \kappa^G) $ 의 소픽 근사 엔트로피 $ h(\Sigma, G, K^G, \kappa^G) $ 는 기저 공간의 엔트로피 $ H(\kappa) $ 와 같다.
• 만약 $ H(\kappa) = \infty $ 이면, 베르누이 이동 $ (G, K^G, \kappa^G) $ 는 어떤 유한 엔트로피 생성 분할도 갖지 않는다.
• 비아벨리안 자유군을 포함하는 모든 소픽 군 $ G $ 에 대해, $ G $ 위의 무한 엔트로피 베르누이 이동은 유한 엔트로피 분할의 관점에서 유한 생성이 될 수 없다.
• 소픽 엔트로피 구성은 측도 동형성에 대해 불변이므로, 유효한 측도 동형성 불변량이 된다.
• 유한 엔트로피 생성 분할이 존재하는 시스템에 대해 요약 지도 부등식 $ h(\Sigma, G, Y, \nu) \geq h(\Sigma, G, X, \mu) - H(\alpha) $ 가 성립한다.
• 소픽 군 위의 베르누이 이동의 기저 엔트로피에 의한 분류 결과는 키다와 포파의 최근 강성 결과를 통해 모든 가산 선형군과 매핑 클래스 군으로까지 확장된다.