[논문 리뷰] Measure rigidity and $p$-adic Littlewood-type problems

Manfred Einsiedler, Dmitry Kleinbock|ArXiv.org|2005. 06. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 동차 동역학에서의 측도 강성 기법을 사용하여 $p$-진 리틀우드 유형의 추측을 위반하는 실수의 집합이 하우스도르프 차원이 0임을 증명한다. 일반화된 $p$-진 디오판틴스 추측 문제에서의 예외 집합이 분수적 의미에서 매우 작음을 보이며, 이는 이차 무리수에 대한 결과를 확장하고 거의 모든 실수에 대해 강한 형태의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

The paper investigates various $p$-adic versions of Littlewood's conjecture, generalizing a set-up considered recently by de Mathan and Teulie. In many cases it is shown that the sets of exceptions to these conjectures have Hausdorff dimension zero. The proof follows the measure ridigity approach of Einsiedler, Katok and Lindenstrauss.

연구 동기 및 목표

• 디오판틴스 추측에서 리틀우드 추측의 $p$-진 일반화를 조사한다.
• 이 $p$-진 근사 성질을 위반하는 실수의 예외 집합의 크기를 규명한다.
• 실수와 $p$-진 수의 곱공간인 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_p)$ 위에서의 고차원 $\mathbb{R} \times \mathbb{Z}$-작용에 대해 측도 강성 이론을 적용한다.
• 예외 집합이 하우스도르프 차원이 0임을 보인다.
• 더 일반적인 $\mathcal{D}$-진 노름과 고차원 아델리ック 군으로의 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• Einsiedler, Katok, 그리고 Lindenstrauss의 측도 강성 접근법을 사용하여 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_p)$ 위의 고정된 측도를 분석한다.
• 다이나믹스적 특성화를 적용: $u$가 $p$-진 조건을 만족하지 못하면, 동차 공간 내에서의 특정 궤적이 일차 파라미터 작용에 대해 유계임과 동치이다.
• 행동 $\alpha^{(t,n)} = \left(\begin{smallmatrix}e^{-t}& \\ & e^t \end{smallmatrix}\right) \times \left(\begin{smallmatrix}a^n& \\ & a^{-n} \end{smallmatrix}\right)$ 에 따른 고정 측도의 엔트로피를 분석한다.
• 실수와 $p$-진 성분에서의 가환 작용에 대해 엔트로피의 가환성에 기반하여 조건부 측도와 리아풀로프 가중치를 활용한다.
• 디오판틴스 문제를 양성 엔트로피를 갖는 고정 측도의 분류 문제로 환원한다.
• 유일한 그러한 측도는 하어르 측도임을 이용하여, 예외 집합이 차원적으로 매우 작아야 함을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 실수 $u$가 $\liminf_{q \to \infty} |q| \cdot |q|_p \cdot \langle qu \rangle = 0$ 인 $p$-진 리틀우드 유형 조건을 만족하는가?
• RQ2 이 $p$-진 근사 성질을 위반하는 실수의 집합의 하우스도르프 차원은 얼마인가?
• RQ3 측도 강성 방법을 정수 $a$에 대해 $\mathcal{D} = \{a^n\}$ 인 $\mathcal{D}$-진 노름으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 실수와 $p$-진 수의 쌍 $(u,v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Q}_p$ 중에서 $\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_p = 0$ 을 만족하지 못하는 집합의 차원도 0인가?
• RQ5 완전체 $\mathbb{Q}_S = \prod_{p_i | a} \mathbb{Q}_{p_i}$ 를 갖는 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_S)$ 위에서의 다이나믹스를 사용하여 일반화된 $p$-진 디오판틴스 근사에서의 예외 집합을 분류할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 실수 $u$ 중에서 $\liminf_{q \to \infty} |q| \cdot |q|_p \cdot \langle qu \rangle > 0$ 인 집합은 하우스도르프 차원이 0이다.
• 이 예외 집합은 상자 차원이 0인 집합들의 가산 합집합이므로, 분수적 의미에서 매우 작다.
• 모든 $v \in \mathbb{Q}_p$ 에 대해, $\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_p = 0$ 을 만족하지 못하는 $u \in \mathbb{R}$ 의 집합 역시 상자 차원이 0인 집합들의 가산 합집합이다.
• 이 결과는 $\mathcal{D} = \{a^n\}$ 인 $\mathcal{D}$-진 노름으로 확장 가능하며, 이 경우 완비화는 $a$의 소인수 집합 $S$ 에 대해 $\mathbb{Q}_S$ 가 된다.
• 일반화된 조건 $\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_{\mathcal{D}} = 0$ 을 위반하는 예외 집합의 하우스도르프 차원은 0이다.
• 증명은 양성 엔트로피를 갖는 유일한 $\alpha$-고정 측도가 하어르 측도임을 이용하며, 이는 비예외 궤적이 일반적임을 의미한다.