[논문 리뷰] Measure, Topology and Probabilistic Reasoning in Cosmology

Erik Curiel|PhilSci-Archive (University of Pittsburgh)|2015. 09. 07.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 29인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 우주론에서의 확률적 추론을 비판적으로 분석하며, 표준적인 방법이 시공간의 무한차원 공간에서 위상수학과 측도 이론에 의존할 경우 실패함을 주장한다. 무한차원 시공간 가중치에서 일반성, 안정성, 가능성에 대한 주장이 물리적으로 의미 있는 측도가 없이 존재할 경우 엄밀한 기초를 잃게 되며, 이는 특이점과 우주상수 값에 대한 널리 쓰이는 추론을 약화시킨다.

ABSTRACT

I explain the difficulty of making various concepts of and relating to probability precise, rigorous and physically significant when attempting to apply them in reasoning about objects (e.g., spacetimes) living in infinite-dimensional spaces, working through many examples from cosmology. I focus on the relation of topological to measure-theoretic notions of and relating to probability, how they diverge in unpleasant ways in the infinite-dimensional case, and are difficult to work with on their own as well in that context. Even in cases where an appropriate family of spacetimes is finite-dimensional, however, and so admits a measure of the relevant sort, it is always the case that the family is not a compact topological space, and so does not admit a physically significant, well behaved probability measure. Problems of a different but still deeply troubling sort plague arguments about likelihood in that context, which I also discuss. I conclude that most standard forms of argument used in cosmology to estimate the likelihood of the occurrence of various properties or behaviors of spacetimes have serious mathematical, physical and conceptual problems.

연구 동기 및 목표

• 우주론적 시공간에 확률적 추론을 적용하는 데서 발생하는 기초적 문제를 특정하고 분석하는 것, 특히 무한차원 공간에서의 문제를 다루는 것.
• 우주론적 맥락에서 위상수학적 개념(예: 일반성, 안정성)과 측도 이론적 개념(예: 확률) 사이의 괴리, 특히 무한차원에서의 불일치를 분석하는 것.
• 물리적으로 잘 정의된 측도가 없이도 위상수학적 일반성과 높은 확률을 동일시하는 우주론에서 널리 쓰이는 추론의 타당성을 도전하는 것.
• 유한차원 시공간 가중치에서도 컴팩트성의 부재가 잘 정의된 확률 측도의 존재를 방해함을 보여주는 것.
• 측도의 존재나 위상수학과의 호환성에 대한 정당화 없이도 암묵적인 측도에 의존하는 인류 중심적 및 특이점 기반의 추론을 비판하는 것.

제안 방법

• 우주론과 관련된 무한차원 공간에서의 확률의 개념적 및 수학적 기초를 분석한다. 특히 시공간 가중치에 중점을 둔다.
• 위상수학적 개념(열린 집합, 희박한 집합, 소규모 변형에 대한 안정성)과 측도 이론적 개념(큰 측도, 영집합)을 대비하여 무한차원에서의 불일치를 보여준다.
• 로렌츠 분할 정리와 관련된 강성 정리들을 적용하여 특이점이 없는 시공간이 위상적으로 안정적이지만 반드시 측도적으로 일반적인 것은 아님을 보여준다.
• 바이너우의 우주상수에 대한 인류 중심적 추론을 분석하여, 근처 FLRW 시공간에 대한 정당화되지 않은 측도에 의존함을 분해한다.
• 함수 공간 위의 보렐 측도와 위상수학의 프레임워크를 사용하여, 무한차원 시공간 가중치에는 물리적으로 의미 있는 측도가 존재하지 않음을 보여준다.
• 적합한 측도의 부재는 위상적으로 안정성이 확보된 경우에도 '일반성'이나 '일반적'이라는 주장의 기초를 무너뜨린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 시공간 가중치에서 위상수학적 일반성과 안정성 개념을 확률적 가능성과 신뢰성 있게 동일시할 수 있는가? 이는 잘 정의된 측도가 없이선 불가능하다.
• RQ2 왜 표준적인 우주론적 확률적 추론(특이점 발생 가능성이나 우주상수 값에 대한 주장 등)이 무한차원 시공간 공간에서 실패하는가?
• RQ3 자연스러운 위상수학적 구조를 사용하는 우주론적 추론과 호환되는 물리적으로 의미 있는 보렐 측도가 시공간 가중치에 존재하는가?
• RQ4 유한차원성과 컴팩트성의 가정은 우주론적 모델 공간에서 잘 정의된 확률 측도의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 기저 측도 공간이 수학적으로 잘 정의되어 있지 않은 경우, 인류 중심적 추론은 어느 정도 정당화될 수 있는가?

주요 결과

• 무한차원 시공간 가중치에서는 위상수학적 크기 개념(예: 열린 밀집 집합)이 양의 측도를 의미하지 않으며, 이는 확률적 결론의 정당화를 불가능하게 한다.
• 유한차원 시공간 가중치에서도 컴팩트성의 부재는 물리적으로 의미 있는 잘 정의된 확률 측도의 존재를 방해한다.
• 특이점이 없는 시공간이 '측도가 0'이라고 주장하는 것은 정의된 보렐 측도가 없이선 정당하지 않으며, 위상적으로 안정성은 여전히 성립한다.
• 비균일한 편열에 대한 무한차원 공간에서의 측도가 존재하지 않기 때문에, 근처 FLRW 시공간에 대한 측도에 의존하는 우주상수에 대한 인류 중심적 추론은 수학적 기초가 없다.
• 로렌츠 분할 정리에 기반한 많은 우주론적 추론은 적합한 측도가 존재한다고 암묵적으로 가정하지만, 이는 정당화되지 않으며, 따라서 그들의 확률적 결론은 수학적으로 근거가 없다.
• 논문은 대부분의 표준적인 우주론적 확률적 추론이 잘 정의되지 않은, 물리적으로 의미 있는 측도의 부재로 인해 깊이 있는 수학적, 물리적, 개념적 결함을 지닌다고 결론 내린다.