[논문 리뷰] Measured Quantum Groupoids in action

Michel Enock|ArXiv.org|2007. 10. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보어-바나흐 대수에서 측도가 있는 양자 군oids의 행동, 교차곱, 이중성 이론을 개발하며, 국소적으로 컴acts한 양자 군의 Vaes의 이중성 정리로 확장한다. 이는 이러한 행동에 의한 보어-바나흐 대수의 교차곱에 대한 포함관계가 깊이 2임을 증명하며, Vallin과 Enock의 결과의 역을 제공하고, 국소적으로 컴acts한 양자 군의 외부 작용으로부터 임의의 표준 측도가 있는 양자 군oids를 구성한다.

ABSTRACT

Franck Lesieur had introduced in his thesis (now published in an expended and revised version in the {\it Mémoires de la SMF} (2007)) a notion of measured quantum groupoid, in the setting of von Neumann algebras and a simplification of Lesieur's axioms is presented in an appendix of this article. We here develop the notions of actions, crossed-product, and obtain a biduality theorem, following what had been done by Stefaan Vaes for locally compact quantum groups. Moreover, we prove that the inclusion of the initial algebra into its crossed-product is depth 2, which gives a converse of a result proved by Jean-Michel Vallin and the author. More precisely, to any action of a measured quantum groupoid, we associate another measured quantum groupoid. In particular, starting from an action of a locally compact quantum group, we obtain a measured quantum groupoid canonically associated to this action; when the action is outer, this measured quantum groupoid is the initial locally compact quantum group

연구 동기 및 목표

• 측도가 있는 양자 군oids의 보어-바나흐 대수 프레임워크로 국소적으로 컴acts한 양자 군의 이론을 일반화하는 것.
• 이 설정에서 군oids 행동과 교차곱의 개념을 발전시켜 Vaes의 양자 군 이론을 일반화하는 것.
• 측도가 있는 양자 군oids에 대한 이중성 정리를 수립하여 양자 군 이론의 이중성 정리와 유사하게 하는 것.
• 초기 대수 M₀가 그 교차곱 M₁에 포함될 때 깊이 2임을 증명하여 기존의 깊이 2 포함관계 결과의 역을 제공하는 것.
• 국소적으로 컴acts한 양자 군의 외부 작용으로부터 임의의 표준 측도가 있는 양자 군oids를 구성하여, 작용이 외부일 경우 원래의 군을 복원하는 것.

제안 방법

• 가짜-곱셈 단위원소와 호프-이중모듈러의 프레임워크를 사용하여 측도가 있는 양자 군oids를 정의하고 연구한다.
• 연산자 값 가중치와 존스의 기본 구성법을 적용하여 보어-바나흐 대수의 깊이 2 포함관계를 분석한다.
• 절단 맵과 라돈-니코딤 정리(바에스 유형)를 사용하여 모듈러 구조를 다루고 이중성을 실현한다.
• δ-불변 가중치를 사용한 표준 구현을 도입하여 교차곱 대수를 구성한다.
• 표현 이론과 이중 작용을 사용하여 이중성 구조를 정의하고 분석한다.
• 역행과 스케일링 군 이론을 적용하여 모듈러 성질을 특성화하고 이중성의 일관성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 컴acts한 양자 군에서 측도가 있는 양자 군oids로 행동과 교차곱의 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 국소적으로 컴acts한 양자 군의 것과 유사하게 측도가 있는 양자 군oids에 대해 이중성 정리가 성립하는가?
• RQ3 깊이 2 포함관계 M₀ ⊂ M₁의 성질이, 깊이 2 포함관계가 측도가 있는 양자 군oids를 유도한다는 기존 결과의 역으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 국소적으로 컴acts한 양자 군의 외부 작용으로 관련된 표준 측도가 있는 양자 군oids의 구조는 어떠한가?
• RQ5 이 일반화된 프레임워크에서 모듈러 자동형사상과 스케일링 군은 이중성 하에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 측도가 있는 양자 군oids 작용 하에서 초깃값 보어-바나흐 대수가 그 교차곱에 포함될 때 깊이 2임을 증명하였으며, 이는 Vallin과 Enock의 결과의 역을 제공한다.
• 측도가 있는 양자 군oids에 대해 이중성 정리를 수립하였으며, 국소적으로 컴acts한 양자 군의 Vaes 결과를 군oids 설정으로 확장하였다.
• 국소적으로 컴acts한 양자 군의 임의의 외부 작용에 대해 관련된 측도가 있는 양자 군oids는 원래의 양자 군과 동형임을 보여주며, 표준 이중성을 보여준다.
• 측도가 있는 양자 군oids의 역행과 스케일링 군이 이중성 하에서 구조를 유지함을 보여주어 모듈러 대상의 일관성을 보장한다.
• 모듈러 자동형사상 σΦ와 σΦ∘R는 서로 교환 가능하며, 모듈러 매개변수 λ는 β(N)에 소속되어 있고 역행 R에 의해 고정됨을 보였다.
• δ-불변 가중치를 사용한 행동의 표준 구현은 잘 정의된 교차곱과 이중 작용을 이끌어내며, 이중성 구조를 확인한다.