[논문 리뷰] Measurements of Quantum Hamiltonians with Locally-Biased Classical Shadows

Charles Hadfield, Sergey Bravyi외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 편향된 고전적 샤프론(LBCS)을 소개한다. LBCS는 양자 회로의 깊이를 늘리지 않고도 분자의 해밀토니안 기대값을 추정할 때 분산을 감소시키는 측정 프로토콜이다. 양자 상태의 고전적 근사와 목표 해밀토니안을 사용해 각 큐비트마다 국소 측정 기저를 최적화함으로써, LBCS는 H₂에서 H₂O에 이르기까지 다양한 분자에서 Pauli 그룹화보다 최대 80%까지 낮은 분산을 일관되게 달성한다.

ABSTRACT

Obtaining precise estimates of quantum observables is a crucial step of variational quantum algorithms. We consider the problem of estimating expectation values of molecular Hamiltonians, obtained on states prepared on a quantum computer. We propose a novel estimator for this task, which is locally optimised with knowledge of the Hamiltonian and a classical approximation to the underlying quantum state. Our estimator is based on the concept of classical shadows of a quantum state, and has the important property of not adding to the circuit depth for the state preparation. We test its performance numerically for molecular Hamiltonians of increasing size, finding a sizable reduction in variance with respect to current measurement protocols that do not increase circuit depths.

연구 동기 및 목표

• 변동형 양자 알고리즘에서 높은 측정 오버헤드 문제를 해결하기 위해, 특히 분자 에너지를 추정할 때에 초점을 맞춘다.
• 양자 회로 깊이를 늘리지 않고도 양자 관측값의 분산을 줄이는 것. 이는 근접한 양자 장치에 매우 중요하다.
• 목표 해밀토니안과 고전적 기준 상태를 활용해 국소적으로 측정 기저를 최적화하는 측정 프로토콜을 개발한다.
• 깊이에 영향을 받지 않는 기존 방법보다 정밀도를 향상시키는 스케일러블하고 볼록 최적화 기반의 측정 기저 편향 방법을 제공한다.

제안 방법

• 임의의 파울리 측정을 사용해 고전적 샤프론을 구성하지만, 목표 관측량과 고전적 기준 상태를 바탕으로 각 큐비트에 대해 국소적 편향을 도입한다.
• 각 큐비트 i에 대해 파울리 기저(X, Y, Z)에 대한 확률 분포 β_i를 정의하고, 추정기 분산을 최소화하도록 최적화한다.
• 최적화를 위한 볼록 비용 함수를 제안하여, 효율적이고 신뢰할 수 있는 수렴을 가능하게 한다.
• 하트리-폭 상태 또는 다중 참고 상태를 고전적 근사(기준 상태)로 사용하여 국소적 편향 과정을 안내한다.
• 국소적으로 편향된 고전적 샤프론 추정기를 사용해 조르단-바이어, 페어리티, 또는 브라비-키타에프 매핑을 통해 인코딩된 분자의 해밀토니안 기대값을 추정한다.
• 다양한 분자와 인코딩 방식에서 표준 파울리 그룹화(LDF)와 무게 없는 고전적 샤프론과의 분산 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 샤프론에서 측정 기저를 국소적으로 편향함으로써, 회로 깊이를 늘리지 않고도 분자의 해밀토니안 기대값 추정의 분산을 줄일 수 있는가?
• RQ2 LBCS의 성능은 LDF와 같은 파울리 그룹화 휴리스틱 기법에 비해 분산 감소 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 비용 함수의 볼록성은 낮은 분산을 가진 측정 기저 분포로의 안정적이고 일관된 수렴을 보장하는가?
• RQ4 페르미온 인코딩 방식(Jordan-Wigner, 페어리티, Bravyi-Kitaev)의 선택이 LBCS로 달성 가능한 분산 감소에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 해밀토니안에 대한 도메인 특화 지식과 고전적 기준 상태를 활용해, 일반적인 측정 전략을 능가하는 성능을 근접한 양자 알고리즘에서 달성할 수 있는가?

주요 결과

• LBCS는 LDF 그룹화와 무게 없는 고전적 샤프론 모두보다 분자 에너지 기대값 추정의 분산을 일관되게 줄이며, H₂O와 같은 더 큰 분자에서는 최대 80%까지 감소한다.
• 조르단-바이어 인코딩을 사용한 14 큐비트 H₂O에서 LBCS는 분산 258을 기록했고, 고전적 샤프론은 2840, LDF 그룹화는 1040이었다.
• LDF 그룹화가 1-노름 샘플링을 통해 최적화된 경우조차도, LBCS는 테스트된 모든 분자(H₂, LiH, BeH₂, H₂O)에서 성능이 뛰어나다.
• 식 (16)에 제시된 볼록 비용 함수는 초기화에 관계없이 유일한 전역 최솟값으로의 안정적 수렴을 보장하며, 비볼록 대안과 거의 동일한 분산 성능을 낸다.
• LBCS와 LDF 간의 성능 격차는 BeH₂와 H₂O와 같이 더 큰 시스템에서 가장 두드러지며, 이 경우 LBCS는 LDF 대비 분산을 4~5배까지 줄인다.
• 페르미온 인코딩의 선택은 성능에 큰 영향을 미친다: 조르단-바이어 인코딩은 Z 연산자의 농도가 높아 더 나은 편향이 가능하지만, 브라비-키타에프와 페어리티 매핑은 X/Y 연산자가 증가해 더 높은 분산을 유도한다.