[논문 리뷰] Measures and their random reals

Jan Reimann, Theodore A. Slaman|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 19.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 캄토어 공간 위의 임의의 확률 측도에 대해 어떤 실수가 무작위인지 조사한다. 비계산 가능한 모든 실수가 원소를 가진 어떤 측도에 대해 무작위임을 보이며, 비초등산술적 실수가 연속 측도에 대해 무작위임을 보여, 알고리즘적 무작위성과 述어적 집합론적 복잡성 간의 정확한 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

We study the randomness properties of reals with respect to arbitrary probability measures on Cantor space. We show that every non-computable real is non-trivially random with respect to some measure. The probability measures constructed in the proof may have atoms. If one rules out the existence of atoms, i.e. considers only continuous measures, it turns out that every non-hyperarithmetical real is random for a continuous measure. On the other hand, examples of reals not random for any continuous measure can be found throughout the hyperarithmetical Turing degrees.

연구 동기 및 목표

• 주어진 실수가 어떤 확률 측도에 대해 알고리즘적으로 무작위가 되는지 결정하는 것.
• 실수의 효과적 述어적 복잡성과 연속 측도에 대한 무작위성 간의 관계를 조사하는 것.
• 어떤 연속 측도에 대해서도 무작위가 되지 않는 실수를 분류하는 것, 특히 초등산술 계층 내에서의 경우에 중점을 두는 것.
• 보통의 질문을 뒤집어, 측도를 고정하고 무작위 실수를 연구하는 대신, 실수를 고정하고 어떤 측도가 그 실수를 무작위로 만드는지를 묻는 알고리즘적 무작위성의 이중성 확장.

제안 방법

• 튜링 함수형과 사용-단조 감소를 이용해 측도 이론적 제어를 통해 원소 집합에 대한 측도를 구성하는 것.
• 변환 기반 접근을 사용하여 측도 μ를 정의함으로써 μ[σ]가 λ[Pre(σ)] 이하로, λ[Ψ|σ|(σ)] 이하로 bound되도록 하여 비원소성과 무작위성을 확보하는 것.
• 결과 측도의 연속성을 보장하기 위해 구축 과정에서 wtt 감소(약진진단 감소)를 적용하는 것. h(k) → ∞ 이면 μ는 원소 없음임을 보장함.
• 비초등산술적 실수가 어떤 실수의 점프와 tt-동치임을 보여주는 우딘의 결과를 활용하여 이러한 실수에 대해 연속 측도를 구성하는 것.
• 보어 집합의 결정성과 쿠마베-슬라먼 포스팅을 사용한 게임 이론적 추론을 통해 연속 측도에 대해 무작위가 되지 않는 실수의 가산성을 일반화하는 것.
• 측도 표현에 대한 보편적인 마틴-뢰프 테스트를 사용하여 무작위성을 정의함으로써, 고전적 개념을 임의의 계산 가능한 측도로 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 실수가 캄토어 공간 위의 어떤 확률 측도에 대해 무작위이며, 그러한 측도는 무엇으로 특징지어지는가?
• RQ2 어느 실수에 대해 연속(비원소적) 측도가 존재하여 그 실수가 무작위가 되는가?
• RQ3 어느 정도의 복잡도를 지닌 실수들이 어떤 연속 측도에 대해서도 무작위가 되지 않는가?
• RQ4 연속 측도에 대한 n-무작위성의 구조는 효과적 述어적 집합론 이론과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 비계산 가능한 모든 실수는 원소를 가질 수 있는 어떤 측도에 대해 무작위이다.
• 비초등산술적 실수는 연속 측도에 대해 무작위이다.
• 초등산술 계층 내에 있는 실수들 중에서는 어떤 연속 측도에 대해서도 무작위가 되지 않는 실수가 존재한다.
• 어느 연속 측도에 대해서도 무작위가 되지 않는 실수의 집합은 가산적이며, 이는 n-무작위성의 경우에도 동일하게 성립한다.
• 비초등산술적 실수에 대해 연속 측도를 구성하는 데에는 wtt 감소와 역 함수형의 사용에 대한 계산 가능한 상한 g의 사용이 활용된다.
• 우딘의 포지너-로빈슨 정리의 일반화를 통해 비초등산술적 실수가 연속 측도에 대해 무작위임을 증명할 수 있다.