[논문 리뷰] Measures of serial extremal dependence and their estimation

Richard A. Davis, Thomas Mikosch외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 25.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초과값의 점진적 수렴과 스펙트럼 분석을 이용하여 첨단적 시간 시리즈에서 순차적 극단적 의존도를 정의하고 추정한다. 기존의 자기상관 함수와는 다르게 주기적인 극단적 의존 패턴을 탐지할 수 있도록, 주기도 기반 추정의 점근적 이론을 수립한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is two-fold: 1. We review classical and recent measures of serial extremal dependence in a strictly stationary time series as well as their estimation. 2. We discuss recent concepts of heavy-tailed time series, including regular variation and max-stable processes. Serial extremal dependence is typically characterized by clusters of exceedances of high thresholds in the series. We start by discussing the notion of extremal index of a univariate sequence, i.e. the reciprocal of the expected cluster size, which has attracted major attention in the extremal value literature. Then we continue by introducing the extremogram which is an asymptotic auto-correlation function for sequences of extremal events in a time series. In this context, we discuss regular variation of a time series. This notion has been useful for describing serial extremal dependence and heavy tails in a strictly stationary sequence. We briefly discuss the tail process coined by Basrak and Segers to describe the dependence structure of regularly varying sequences in a probabilistic way. Max-stable processes with Frechet marginals are an important class of reg- ularly varying sequences. Recently, this class has attracted attention for modeling and statistical purposes. We apply the extremogram to max-stable processes. Finally, we discuss estimation of the extremogram both in the time and frequency domains.

연구 동기 및 목표

• строго 정상적인 시간 시리즈에서 고전적이고 최근의 순차적 극단적 의존도 측정법을 검토하고 통합한다.
• 정규화된 변화와 꼬리 과정을 공식화하여 첨단적 시퀀스에서 순차적 극단적 의존도를 모델링한다.
• 시간 도메인과 주파수 도메인에서 극단적 상관도의 스펙트럼 추정 방법을 개발하고 정당화한다.
• 프레셰 모수를 가진 최대안정 과정에 극단적 상관도를 적용한다. 이는 정규화된 변화 시퀀스의 핵심 클래스이다.
• 블록 크기와 의존 계수의 성장 조건 하에서, 극단적 상관도의 스펙트럼 밀도에 대한 일致하고 점근적으로 정규적인 추정을 제공한다.

제안 방법

• 초과값의 점진적 수렴을 이용해 극단적 클러스터를 정의하고, 클러스터 평균 크기의 역수로서 극단적 지수를 유도한다.
• 정규화된 극단적 공분산의 극한을 통해 정의된 극단적 상관도를 극단적 사건에 대한 점근적 자기상관 함수로 도입한다.
• 확률적 프레임워크 내에서 확률과정의 정규화된 변화 개념을 적용하여 순차적 극단적 의존도를 특성화한다.
• Basrak과 Segers의 꼬리 과정을 활용하여 정규화된 변화 시퀀스에서 극단적 클러스터의 공동 의존도를 기술한다.
• 혼합 조건과 모멘트 조건 하에서 극단적 사건의 주기도의 점근적 분포 극한을 도출한다.
• Daniell형 창을 사용하여 스무딩 주기도 추정기를 구성하고, 블록 크기와 의존 계수의 약한 성장 조건 하에서 L² 일致성과 점근적 정규성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 stricly stationary 시간 시리즈에서 극단적 상관도를 극단적 상관도 함수를 통해 일관적으로 측정하고 추정할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 극단적 사건의 주기도의 점근적 분포는 무엇이며, 이를 어떻게 스펙트럼 추론에 활용할 수 있는가?
• RQ3 약한 의존성과 정규화된 변화 조건 하에서, 스무딩 주기도 추정기는 극단적 상관도의 스펙트럼 밀도를 일관되게 추정할 수 있는가?
• RQ4 극단적 상관도 함수와 그 스펙트럼 표현은 금융 및 환경 시간 시리즈에서 극단적 집중의 주기적 패턴을 어떻게 탐지하는가?
• RQ5 프레셰 모수를 가진 최대안정 과정은 순차적 극단적 의존도 모델링에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 그 극단적 상관도는 어떻게 추정할 수 있는가?

주요 결과

• 극단적 상관도 함수는 극단적 사건에 대해 유효한 점근적 자기상관 함수로 확인되었으며, 고전적 시간 시리즈 스펙트럼 이론과 유사한 스펙트럼 표현을 가진다.
• 극단적 사건의 주기도는 스펙트럼 밀도의 스케일된 지수 함수로 분포 수렴하며, 이는 점근적 추론을 가능하게 한다.
• 극단적 상관도의 스펙트럼 밀도에 대한 스무딩 주기도 추정기는 약한 성장 조건 하에서 L² 일치성과 점근적 정규성을 확보한다.
• 이 방법은 버뱅크 은행 주식의 5분 로그 수익률에서 유의미한 주기적 극단적 의존 패턴을 탐지하였으며, 스무딩 주기도의 피크는 반복적인 극단적 손실 패턴을 나타낸다.
• 극단적 상관도 기반 스펙트럼 분석은 기존의 자기상관 또는 절대값 자기상관도에서는 탐지되지 않는 극단적 집중 주기 패턴을 탐지할 수 있다.
• 프레셰 모수를 가진 최대안정 과정의 경우, 극단적 상관도는 닫힌 형태의 표현식을 가지며, 제안된 추정 프레임워크 하에서 그 스펙트럼 밀도가 일치함을 보였다.