[논문 리뷰] Measuring and Analysing Marginal Systemic Risk Contribution using CoVaR: A Copula Approach

Brice Hakwa, Manfred Jäger-Ambrożewicz외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 17.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 금융 기관의 시스템 리스크에 기여하는 정도를 측정하는 시스템 리스크 측정지표인 CoVaR를 계산하기 위한 코풀라 기반 분석 프레임워크를 제안한다. CoVaR를 마진널 손실 분포와 코풀라 기반의 의존 구조에 따라 표현함으로써, 선형적이지 않은 꼬리 의존성까지 포함한 다양한 분포와 의존 유형에 대해 닫힌 형태의 계산을 가능하게 하여, 이전의 회귀 기반 또는 가우시안 분포에 국한된 접근 방식에 비해 더 유연하고 수학적으로 다룰 수 있는 대안을 제공한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the quantification and analysis of marginal risk contribution of a given single financial institution i to the risk of a financial system s. Our work expands on the CoVaR concept proposed by Adrian and Brunnermeier as a tool for the measurement of marginal systemic risk contribution. We first give a mathematical definition of CoVaR_α^{s|L^i=l}. Our definition improves the CoVaR concept by expressing CoVaR_α^{s|L^i=l} as a function of a state l and of a given probability level αrelative to i and s respectively. Based on Copula theory we connect CoVaR_α^{s|L^i=l} to the partial derivatives of Copula through their probabilistic interpretation and definitions (Conditional Probability). Using this we provide a closed formula for the calculation of CoVaR_α^{s|L^i=l} for a large class of (marginal) distributions and dependence structures (linear and non-linear). Our formula allows a better analysis of systemic risk using CoVaR in the sense that it allows to define CoVaR_α^{s|L^i=l} depending on the marginal distributions of the losses of i and s respectively and the copula between L^i and L^s. We discuss the implications of this in the context of the quantification and analysis of systemic risk contributions. %some mathematical This makes possible the For example we will analyse the marginal effects of L^i, L^s and C of the risk contribution of i.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법이 실패하는 비가우시안 및 비선형 의존성 설정에서 CoVaR를 계산하는 데 있어 열려 있는 문제를 해결하기 위해.
• 특정 손실 수준 $ l $ 과 신뢰수준 $ \alpha $ 에 따라 정의함으로써 CoVaR 개념을 개선하여 그 수학적 다루기 용이성을 높이기 위해.
• 코풀라 이론을 활용하여 마진널 분포와 의존 구조를 통합한 일반적인 분석 공식 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 을 유도하기 위해.
• 마진널 손실 분포 $ F_s $, $ F_i $ 와 의존 매개변수 $ \rho $ 또는 $ \theta $ 의 영향을 분리하여 시스템 리스크 기여도를 다각도로 분석할 수 있도록 하기 위해.
• macro-prudential 리스크 측정지표인 $ \Delta \mathrm{CoVaR} $, $ \Delta \mathrm{CollVaR} $, 및 $ \Delta \mathrm{CondVaR} $ 의 계산 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• Adrian과 Brunnermeier의 원래 수식을 개선하여, 기관 $ i $ 의 손실이 수준 $ l $ 에 있을 조건부로 시스템의 손실에 대한 Value-at-Risk로 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 의 정밀한 수학적 정의를 제안한다.
• 코풀라 이론을 활용하여 기관 $ i $ 의 손실 $ L^i $ 와 시스템 손실 $ L^s $ 간의 공동 의존성을 모델링함으로써 선형 및 비선형 의존성의 다소 민감한 모델링이 가능하다.
• 코풀라 함수의 편미분을 기반으로 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 의 닫힌 형태 표현식을 유도하며, 조건부 확률의 통계적 해석을 활용한다.
• 가우시안, t-코풀라, 구멜, 클레이튼 코풀라의 특정 가족에 대해 적용하여, 가우시안, t-, 및 클레이튼 코풀라에 대해 명시적인 분석 해를 도출한다.
• 구멜 코풀라의 경우 공식은 유도되었지만 그 역함수는 해석적으로 풀 수 없어 계산을 위해 수치적 방법이 필요하다.
• 유도된 공식을 통해 시스템 리스크 기여도가 연구 대상 기관의 마진널 분포 $ F_i $ 와 독립적임을 입증하였으며, 이는 핵심적인 통찰이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CoVaR는 어떤 방식으로 특정 손실 수준 $ l $ 에 따라 정의되어야 하며, 단지 분위수에 의존하는 방식이 아닌가?
• RQ2 마진널 분포와 의존 구조의 영향을 분리할 수 있는 일반적인 분석 공식 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 이 도출될 수 있는가?
• RQ3 다양한 코풀라 가족—가우시안, t-, 구멜, 클레이튼—은 어떻게 다양한 형태의 의존성, 특히 꼬리 의존성을 포괄하며 CoVaR 값에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 시스템의 마진널 손실 분포 $ F_s $, 의존 매개변수 $ \rho $ 또는 $ \theta $, 그리고 조건부 손실 $ l $ 이 결과로 도출된 CoVaR에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 프레임워크는 $ \Delta \mathrm{CoVaR} $, $ \Delta \mathrm{CollVaR} $, 및 $ \Delta \mathrm{CondVaR} $ 와 같은 관련 시스템 리스크 측정지표의 계산으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 코풀라 이론을 활용하여, 다양한 마진널 분포와 의존 구조에 대해 유효한 닫힌 형태의 분석 공식 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} $ 이 도출되었다.
• 클레이튼 코풀라의 경우 공식이 명시적으로 $ \mathrm{CoVaR}_{\alpha}^{s|L^i = l} = F_s^{-1}\left(\left[\left(\alpha^{-\frac{\theta}{1+\theta}} - 1\right)F_i(l)^{-\theta} + 1\right]^{-\frac{1}{\theta}}\right) $ 로 주어지며, 직접 계산이 가능하다.
• 기관 $ i $ 의 시스템 리스크 기여도는 그 자체의 마진널 분포 $ F_i $ 와 독립적임이 유도된 공식(식 (11))을 통해 입증되었으며, 이는 직관에 어긋나지만 수학적으로 뒷받침된 결과이다.
• 구멜 코풀라 모델은 상부 꼬리 의존성($ \lambda_u > 0 $) 을 보이지만 하부 꼬리 의존성은 없으며, 그 CoVaR 공식은 명시적인 역함수가 없어 수치적 역행렬이 필요하다.
• 이 프레임워크는 선형 상관관계 모델이 놓치는 비선형적이고 비대칭적인 의존성, 특히 꼬리 의존성을 효과적으로 포착할 수 있어, 이전의 회귀 기반 또는 가우시안에 국한된 접근 방식에 비해 열등한 대안을 제공한다.
• 이 방법은 $ \Delta \mathrm{CoVaR} $, $ \Delta \mathrm{CollVaR} $, 및 $ \mathrm{CondVaR} $ 와 같은 관련 시스템 리스크 측정지표에 대해 닫힌 형태의 표현식을 도출할 수 있으며, 이는 매크로프루덴셜 규제에 대한 실용적 활용도를 확장한다.