[논문 리뷰] Measuring Association between Random Vectors

Oliver Grothe, Friedrich Schmid외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 21.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 난수 벡터 간의 상관관계를 측정하기 위해 코풀라 기반의 다섯 가지 측도를 제안한다. 이 측도들은 근원 분포에 영향을 받지 않으며, 양의 상관관계와 음의 상관관계를 모두 포착할 수 있다. 이 측도들은 다변량 설정으로 일반화된 스피어만의 ρ이며, 금융 데이터에서 시간에 따라 변화하는 상관관계 패턴을 효과적으로 탐지할 수 있음을 입증하였다. 특히 채권 및 주식 인덱스 간의 관계에서 시간이 지남에 따라 양의 상관관계에서 음의 상관관계로의 전환을 포착하였다.

ABSTRACT

This paper suggests five measures of association between two random vectors X = (X_1, ..., X_p) and Y = (Y_1, ..., Y_q). They are copula based and therefore invariant with respect to the marginal distributions of the components X_i and Y_j. The measures capture positive as well as negative association of X and Y. In case p = q = 1 they reduce to Spearman's rho. Various properties of these new measures are investigated. Nonparametric estimators, based on ranks, for the measures are derived and their small sample behaviour is investigated by simulation. The measures are applied to characterise strength and direction of association of bond and stock indices of five countries over time.

연구 동기 및 목표

• 고전적 상관계수의 한계를 해결하기 위해 근원 분포에 영향을 받지 않는 두 난수 벡터 간의 상관관계 측도를 개발하는 것.
• 피어슨 상관계수나 거리 상관계수와 같은 측도들이 방향성을 구분하지 못하는 데서 비롯되는 문제를 해결하기 위해, 양의 상관관계와 음의 상관관계를 모두 탐지할 수 있도록 하는 것.
• 작은 표본에서 양호한 성능을 보이는 비모수적이고 순위 기반 추정기법을 제공하여 실용적 적용을 가능하게 하는 것.
• 채권 및 주식 등 금융 자산 클래스 간의 시간에 따라 변화하는 상관관계를 분석하는 데에 이 측도의 유용성을 입증하는 것.
• 코풀라 기반 변환을 통해 이중 상관관계를 넘어 다변량 상관관계 구조로의 일반화를 가능하게 하기 위해 프레임워크를 확장하는 것.

제안 방법

• 두 난수 벡터 X와 Y의 공동 분포의 코풀라를 사용하여 측도를 정의함으로써, 근원 분포에 대한 불변성을 확보한다.
• U와 V가 각각 X와 Y의 확률적 적분 변환일 때, 변환된 벡터 f(U)와 g(V)를 기반으로 다섯 가지 모집단 수준의 측도를 유도한다.
• 이 측도들은 이변량 순위 상관계수를 적용함으로써 스피어만의 ρ를 일반화하며, 단조 증가하는 상관관계에 대한 민감성을 유지한다.
• 데이터의 순위를 사용하여 비모수적 추정기법을 구성함으로써, 모멘트 제약 조건 없이도 강건성과 적용 가능성을 확보한다.
• 유한 표본 성능을 평가하기 위해 시뮬레이션 연구를 수행하였으며, 표본 크기 n ≥ 100일 경우 양호한 성능을 보였다.
• 실증 분석에서는 250일의 윈도우를 사용하여 채권 및 주식 인덱스 간의 시간에 따라 변화하는 상관관계를 추정하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 두 난수 벡터 간의 상관관계를 근원 분포에 영향을 받지 않으며, 양의 상관관계와 음의 상관관계에 모두 민감하게 측정할 수 있는가?
• RQ2 코풀라 기반 측도는 스피어만의 ρ를 다변량 설정으로 일반화하면서도 해석 가능성과 강건성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 이러한 다변량 상관관계 측도에 대한 비모수적 순위 기반 추정기의 소표본 성능은 어떠한가?
• RQ4 이러한 측도들은 캐논리컬 상관계수, RV 계수, 거리 상관계수와 같은 고전적 측도들과 비교하여 금융 데이터에서 시간에 따라 변화하는 상관관계를 얼마나 잘 포착하는가?
• RQ5 제안된 측도들은 시간이 지남에 따라 양의 상관관계에서 음의 상관관계로의 전환과 같은 의미 있는 상관관계 구조의 변화를 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 측도들은 고전적 측도들이 실패하는 상황에서도 상관관계의 방향성과 강도를 효과적으로 포착한다.
• 시뮬레이션 결과에 따르면 추정기들은 소표본에서 유리한 성능을 보이며, 표본 크기 n ≥ 100일 경우 안정적인 성능을 보였다.
• 실증 분석에서 측도들은 시간에 따라 변화하는 패턴을 드러내었으며, 1996년부터 2002년까지 채권 및 주식 인덱스 간의 상관관계가 감소했고, 2002년부터 2006년까지는 0에 수렴했으며, 그 이후로는 음의 상관관계로 전환되었다.
• 평균 쌍별 상관관계(ρ̄)와 개별 성분 상관관계(ρ₁부터 ρ₄까지)를 기반으로 한 측도들은 캐논리컬 상관계수, 거리 상관계수, RV 계수와 비교해 더 매끄럽고 일관된 변화를 보였다. 반면 후자들은 척도가 다름에 따라 분리되는 경향을 보였다.
• 필터링된 데이터에 적용했을 때도 결과가 강건하여, 관찰된 상관관계 패턴이 수익률의 자기상관성이나 이방성에 의해 유도된 것이 아님을 시사한다.
• 코풀라에서 유도된 변환된 성분에 다변량 상관관계 측도를 적용함으로써, 이 프레임워크는 d변량 상관관계로의 확장이 가능하다.