[논문 리뷰] Measuring Portfolio Diversification

Ulrich Kirchner, Caroline Zunckel|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 23.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 4인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 포트폴리오의 최종 가치 분포의 정보 엔트로피를 기반으로 한 새로운 다각화 측정법을 제안한다. 이 측정법은 모든 통계적 모멘트를 포괄하며, 비정규 분포 및 제로비용 자산으로도 자연스럽게 확장된다. 기존의 가중치 기반 지표와 달리, 진정한 리스크 산산이를 정량적으로 반영하며, 더 높은 왜도나 첨도를 가진 비정규 분포가 가우시안 기준선을 초월해 다각화를 증가시킨다는 점을 보여준다.

ABSTRACT

In the market place, diversification reduces risk and provides protection against extreme events by ensuring that one is not overly exposed to individual occurrences. We argue that diversification is best measured by characteristics of the combined portfolio of assets and introduce a measure based on the information entropy of the probability distribution for the final portfolio asset value. For Gaussian assets the measure is a logarithmic function of the variance and combining independent Gaussian assets of equal variance adds an amount to the diversification. The advantages of this measure include that it naturally extends to any type of distribution and that it takes all moments into account. Furthermore, it can be used in cases of undefined weights (zero-cost assets) or moments. We present examples which apply this measure to derivative overlays.

연구 동기 및 목표

• 모든 수익률 분포의 모멘트를 고려하는, 보편적으로 적용 가능한 통계적으로 탄탄한 포트폴리오 다각화 측정법이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 모멘트가 정의되지 않은 경우, 예를 들어 멱법칙 또는 무거운 尾(꼬리) 분포에서조차도 유효한 남아 있는 다각화 지표를 개발하기 위해.
• 시장에서 유도된 분포와 주관적 믿음을 통합하는 프레임워크를 제공하여, 정보 변화에 따라 동적으로 다각화를 평가할 수 있도록 하기 위해.
• 기존의 허프다할 지수나 가중치 엔트로피와 같은 전통적 가중치 기반 지표보다 엔트로피 기반 측정법이 진정한 포트폴리오 산산이를 더 잘 반영하는지 입증하기 위해.
• 제안된 엔트로피 측정법을 사용하여 파생상품 오버레이가 포트폴리오 다각화에 미치는 영향을 평가하기 위해.

제안 방법

• 다각화를 포트폴리오 최종 가치 분포의 정보 엔트로피의 음수로 정의한다: $ D(A|I) = -\int p(A_a|I) \log p(A_a|I) \, da $.
• 베이지안 확률을 사용하여 자산 가격에 대한 주관적 믿음을 모델링함으로써, 측정법이 새로운 정보로 업데이트될 수 있도록 한다.
• 가우시안 및 로그정규 분포에 대해 엔트로피 측정법을 적용하고, 이러한 경우에 대해 $ D(A|I) $ 의 닫힌 형태 표현식을 유도한다.
• 모멘트 제약 조건 하에 엔트로피를 최대화하여, 비정규, 꼬리가 두꺼운, 비대칭 분포로 측정법을 확장함으로써 전체 분포 정보를 유지한다.
• 두 자산 및 세 자산 포트폴리오에서 수치 예제를 사용하여 엔트로피 기반 측정법과 허프다할 지수 및 가중치 엔트로피를 비교한다.
• 파생상품 오버레이(예: 옵션)의 영향을 포트폴리오 최종 분포에 모델링하고, 엔트로피를 통해 유도된 다각화 이득을 계산함으로써 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포트폴리오 수익률 분포의 모든 통계적 모멘트를 고려하는 방식으로 다각화를 정량적으로 측정할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 제안된 엔트로피 기반 측정법은 허프다할 지수나 가중치 엔트로피와 같은 기존의 가중치 기반 다각화 지표보다 어떤 방식으로 슈퍼어리어를 보이는가?
• RQ3 비정규 수익률 분포, 특히 왜도나 첨도와 같은 고차 모멘트가 존재할 경우, 다각화 측정법은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 기존의 가중치가 정의되지 않는 제로비용 파생상품 전략에 대해 엔트로피 측정법을 의미 있게 적용할 수 있는가?
• RQ5 옵션과 같은 파생상품 오버레이를 사용할 경우, 엔트로피 기반 측정법으로 측정된 다각화의 이점은 무엇인가?

주요 결과

• 엔트로피 기반 다각화 측정법은 수익률 분포의 모든 모멘트에 의존하며, 분산이나 고차 모멘트가 정의되지 않은 경우, 예를 들어 멱법칙 분포에서조차도 잘 정의되어 있다.
• 가우시안 자산의 경우 측정법은 분산의 로그 함수이며, 동일한 분산을 가진 독립적인 자산을 조합할 경우 다각화는 고정된 덧셈량만큼 증가한다.
• 정규 분포와 동일한 분산을 가졌지만 더 높은 왜도 또는 첨도를 가진 비정규 분포는 모멘트 제약 조건 하에서 엔트로피를 최대화하므로 엔트로피 측정법에 의해 더 큰 다각화를 제공한다.
• 허프다할 지수와 가중치 엔트로피는 다중 자산 포트폴리오에서 다각화를 체계적으로 과소 또는 과대 평가한다: 일부 영역에서는 허프다할 지수가 최대 10%까지 과소평가하며, 가중치 엔트로피는 집중된 가중치에서의 음수 기여를 피한다.
• 옵션과 같은 파생상품 오버레이를 통해 다각화를 크게 증가시킬 수 있으며, 판매 콜옵션의 행사가격과 구입 풋옵션의 행사가격이 수렴할수록 이점은 급격히 증가한다.
• 엔트로피 측정법은 기존의 가중치 기반 측정법이 정의되지 않는 제로비용 포트폴리오(예: 옵션 전략)로 자연스럽게 확장된다.