[논문 리뷰] Measuring relational information between quantum states, and applications

Michał Oszmaniec, Daniel J. Brod외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 21.

Quantum Information and Cryptography인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 상태 간의 상대적 관계를 기반으로 하는 바르망 인버티언트(상대적 불변량)를 직접 측정하기 위해 사이클 테스트 양자 회로를 도입한다. 이는 쌍별 오버랩과 고차원 위상 관계를 캡처하는 양자 상태의 관계 불변량이다. SWAP 테스트를 일반화함으로써, 이들 회로는 순수 및 혼합 상태에 대한 프로젝티브-유니터리 불변량을 기반으로 한 강건하고 기저에 종속되지 않는 특성 분석을 가능하게 하며, 다중 광자 불가구분성 증명, 선형 독립성 테스트, 불변량 부등식을 통한 위상성 검출 등의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The geometrical arrangement of a set of quantum states can be completely characterized using relational information only. This information is encoded in the pairwise state overlaps, as well as in Bargmann invariants of higher degree written as traces of products of density matrices. We describe how to measure Bargmann invariants using suitable generalizations of the SWAP test. This allows for a complete and robust characterization of the projective-unitary invariant properties of any set of pure or mixed states. As applications, we describe basis-independent tests for linear independence, coherence, and imaginarity. We also show that Bargmann invariants can be used to characterize multi-photon indistinguishability.

연구 동기 및 목표

• 완전한 토모그라피 없이도 양자 상태 간의 상대적 불변량을 측정할 수 있는 운영 가능한 방법을 개발하는 것.
• 바르망 인버티언트를 사용하여 양자 상태 튜플의 프로젝티브-유니터리(PU) 불변 성질을 특성화하는 것.
• 기저에 종속되지 않는 방식으로 선형 독립성, 위상성, 허수성 등의 양자 성질을 감지할 수 있도록 하는 것.
• 다중 광자 불가구분성을 상대적 불변량을 통해 강건하고 실험적으로 구현 가능한 프레임워크로 정량화하는 것.

제안 방법

• 차수 m의 바르망 인버티언트의 실수부를 측정하기 위해 SWAP 테스트의 일반화로 사이클 테스트 회로를 제안한다.
• 보조 큐비트에 조건부로 m개의 양자 상태를 순환시키기 위해 제어된 사이클 순열 게이트를 사용한다.
• 위상 게이트(예: P = diag(1,i))를 활용하여 제어 회전을 통해 바르망 인버티언트의 허수부를 추출한다.
• 3체 인버티언트를 사용한 선형 독립성에 대한 PU-불변 조건을 유도한다. 예를 들어, Δ₁₂₃ ≥ ½(Δ₁₂ + Δ₁₃ + Δ₂₃ − 1).
• 일관된 불변량 튜플의 볼록 hull을 구성하여 위상성 없는 상태의 다면체를 정의하고, 이를 통해 위식 불등식을 유도한다.
• 밀도 행렬의 곱의 트레이스로 일반화함으로써 혼합 상태에 대해 바르망 인버티언트를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 상태 토모그라피 없이도 양자 상태 간의 상대적 정보를 직접 측정할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 양자 상태 튜플의 기하적 배열을 완전히 특성화하는 데 필요한 프로젝티브-유니터리 불변량의 전체 집합은 무엇인가?
• RQ3 바르망 인버티언트는 실험적으로 양자 회로를 통해 측정 가능할 수 있으며, SWAP 테스트는 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 바르망 인버티언트는 기저에 종속되지 않는 방식으로 위상성, 허수성, 선형 독립성을 어떻게 감지할 수 있는가?
• RQ5 m체 바르망 인버티언트의 허수부의 최대 값은 얼마이며, 큰 m의 극한에서 1에 가까워질 수 있는가?

주요 결과

• 사이클 테스트 회로를 통해 임의의 차수 m에 대해 바르망 인버티언트의 실수부와 허수부를 직접 측정할 수 있다.
• 정규 구형 n-각형 위에 위치한 3큐비트 단일 큐비트 상태에 대해, 3체 인버티언트 Δ₁₂₃의 허수부는 n=10일 때 0.6949에 도달하고 n→∞일 때 1에 수렴한다.
• 불등식 Δ₁₂₃ ≥ ½(Δ₁₂ + Δ₁₃ + Δ₂₃ − 1) 위반은 위상성의 증거가 되며, 허수성 증거가 실패할 경우에도 위상성을 감지할 수 있다.
• 3상태 시나리오는 허수성 없는 상태에 대한 필요충분 조건을 정의하는 면을 가진 다면체를 생성한다.
• 이 프레임워크는 고차원 바르망 인버티언트를 통해 다중 광자 불가구분성을 감지함으로써 강건한 증명 방법을 제공한다.
• 모든 오버랩이 r₁₂ = r₁₃ = r₂₃ = 1/4인 세 상태에 대해 인버티언트 Δ₁₂₃ = −1/8이며, 이는 위상성 없는 조건을 위반함을 보여주며 위상성을 감지한다.