[논문 리뷰] Memoryless output nullification and canonical forms, for time varying systems

Gera Weiss|ArXiv.org|2005. 03. 15.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시스템이 완전히 제어 가능하고, 완전히 관측 가능하며, 모든 $ k $ 에 대해 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 를 만족할 경우, 유한한 수의 단계 내에 유한 차원 선형 시간변화 단일입력 단일출력 시스템을 일관되게 영으로 만드는 메모리 없는 출력 피드백 제어 알고리즘을 제시한다. 이 방법은 시간에 따라 변하는 제어기 표준형을 활용하며, 최대 $ 2(n^4 + n^3 + n^2) $ 단계 이내로 영으로 만드는 것을 보장하며, 시스템의 불변량에서 유도된 구축 가능한 피드백 법칙을 제공한다.

ABSTRACT

We study the possibility of nullifying time-varying systems with memoryless output feedback. The systems we examine are linear single-input single-output finite-dimensional time-varying systems. For generic completely controllable and completely observable discrete-time systems, we show that any state at any time can be steered to the origin within finite time. An algorithm for nullification and an upper bound for nullification time, depending only on the system's dimension, are provided. The algorithm is described using a representation of the system in time-varying controller canonical form. We verify that every completely controllable system has such a representation. The application of the nullification algorithm to sampled-data systems is also analysed: we show that a controllable continuous-time time-varying system with analytic coefficients can be nullified utilising zero-hold sampling of the output and time-varying memoryless linear feedback; for generic observables, almost any sampling period can be used. We also prove that controllability of time-varying systems with analytic coefficients is preserved under zero-hold sampling at almost any rate.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 선형 시스템이 메모리 없는 출력 피드백을 통해 영으로 만들 수 있는 충분한 조건을 확립하기.
• 유한 시간 내에 상태 영으로 만드는 데에 필요한 피드백 이득을 계산하는 명시적 알고리즘을 개발하기.
• 시스템 차원에만 의존하는 상한선이 존재하는 영으로 만드는 시간에 대한 상한선을 유도하기.
• 해석적 계수를 가진 연속시간 시스템에서 제로홀드 샘플링에 의한 제어 가능성의 유지 여부 분석하기.

제안 방법

• 대수적 동치 변환을 통해 시스템을 시간에 따라 변하는 제어기 표준형으로 표현하기.
• 메모리 없는 피드백 하에서의 영으로 만드는 가능성에 대한 핵심 기준으로서 불변량 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 를 사용하기.
• 폐쇄형 시스템이 유한한 단계 내에 원점에 도달하도록 하는 피드백 법칙 $ u_k = F_k y_k $ 을 구성하기.
• 상태의 성분을 $ n $ 사이클에 걸쳐 순차적으로 영으로 만드는 재귀적 영으로 만드는 절차 적용하기.
• 유사성 변환 하에서 여도 행렬과 행렬식의 불변성을 활용하여 표준형 간의 영으로 만드는 조건 유지하기.
• 샘플드 데이터 시스템을 분석하기 위해, 해석적 계수를 가진 시스템에서 거의 모든 샘플링 속도에서 제어 가능성 유지됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 선형 시스템이 메모리 없는 출력 피드백을 통해 언제 영으로 만들 수 있는가?
• RQ2 시스템 차원에만 의존하는 영으로 만드는 시간에 대한 유한한 상한선을 도출할 수 있는가?
• RQ3 제어기 표준형은 메모리 없는 피드백 설계를 통해 영으로 만드는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 제로홀드 샘플링은 해석적 계수를 가진 시간에 따라 변하는 연속시간 시스템에서 제어 가능성을 유지하는가?
• RQ5 모든 $ k $ 에 대해 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 인 조건은 시간에 따라 변하는 시스템에서 영으로 만드는 데 필수적이고 충분한가?

주요 결과

• 모든 $ k $ 에 대해 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 를 만족하고, 완전히 제어 가능하고 완전히 관측 가능한 시간에 따라 변하는 이산시간 시스템은 메모리 없는 출력 피드백을 통해 일관되게 영으로 만들 수 있다.
• 영으로 만드는 시간은 최대 $ 2(n^4 + n^3 + n^2) $ 단계로 제한되며, 여기서 $ n $ 은 시스템의 차원이다.
• 제어기 표준형 표현은 영으로 만드는 조건이 출력 벡터 $ c_k $ 의 첫 번째 성분을 확인하는 것으로 단순화됨을 보장한다.
• 조건 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 는 대수적 동치 변환 하에서도 불변이므로, 표준형 분석이 가능하다.
• 해석적 계수를 가진 연속시간 시스템에서는 거의 모든 샘플링 속도에서 제로홀드 샘플링에 의한 제어 가능성 유지됨이 입증된다.
• 알고리즘은 제어기 표준형을 사용하여 피드백 계수 $ F_k $ 를 명시적으로 구성하므로 실용적 구현이 가능하다.