[논문 리뷰] Mercer's inequality for h-convex functions

Mohammad W. Alomari|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 19.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 h-supermultiplicative 함수를 포함하는 가중치 불등식을 도입하여 Mercer의 부등식을 h-볼록 함수로 일반화한다. 이는 고전적인 Jensen 및 삼각부등식을 확장한다. 주요 결과는 h-볼록 함수의 가중 평균에 대한 상한을 제공하며, 특히 normed 공간과 특정 조건 하에서 개선된 삼각부등식에 적용된다.

ABSTRACT

A generalization of Mercer inequality for h-convex function is presented. As application, a weighted generalization of triangle inequality is given.

연구 동기 및 목표

• 볼록 함수에서 h-볼록 함수로 Mercer의 부등식을 확장하여 볼록 해석학의 고전적 결과를 일반화한다.
• 가중치 함수 h에 대한 조건 하에서 h-볼록 함수를 포함하는 가중치 부등식을 수립한다.
• 시퀀스의 극단점들을 포함하는 새로운 상한을 도입하여 h-Jensen 부등식의 역방향 개선을 제공한다.
• f(x) = |x| 및 h(t) = t를 적용하여 normed 공간에서 절댓값 함수를 일반화함으로써 삼각부등식을 개선한다.

제안 방법

• 비음수 초곱성 함수 h가 (0, ∞)에서 정의된 h-볼록 함수를 사용하여 Mercer의 부등식의 일반화를 도입한다.
• α + β = 1 이고 α, β ∈ (0,1)일 때, f(αx + βy) ≤ h(α)f(x) + h(β)f(y) 조건을 h-볼록성으로 적용한다.
• ∑h(wₖ/Wₙ) ≤ 1 조건 하에 xₖ의 가중 평균과 극단치 x₁ 및 xₙ를 포함하는 가중치 부등식을 유도한다.
• xₖ와 yₖ = x₁ + xₙ − xₖ 사이의 중점 대칭성을 활용하여 h-볼록성을 적용하고 주요 부등식을 유도한다.
• h가 초곱성이고 f가 h-볼록일 때, ∑h(wₖ/Wₙ) ≥ 1 조건 하에 부등식을 뒤집는다.
• 결과를 절댓값 함수 f(x) = |x| 및 h(t) = t에 적용하여 normed 공간에서 삼각부등식을 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초곱성 가중치 함수 h를 사용하여 Mercer의 부등식을 어떻게 h-볼록 함수로 확장할 수 있는가?
• RQ2 h와 가중치 wₖ에 어떤 조건이 성립해야 h-볼록 함수에 대한 일반화된 Mercer 부등식이 성립하는가?
• RQ3 일반화된 부등식이 h-Jensen 부등식의 역방향 개선을 제공할 수 있는가?
• RQ4 부등식은 어떻게 normed 공간에서 절댓값 함수를 통해 개선된 삼각부등식으로 특수화되는가?
• RQ5 f가 h-볼록이고 h가 초곱성일 경우 부등식의 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 주요 부등식은 h-초곱성 함수와 h-볼록 함수 f에 대해 ∑h(wₖ/Wₙ) ≤ 1 조건 하에 f(x₁ + xₙ − (1/Wₙ)∑wₖxₖ) ≤ f(x₁) + f(xₙ) − ∑h(wₖ/Wₙ)f(xₖ)로 표현된다.
• h가 초곱성이고 f가 h-볼록일 때, ∑h(wₖ/Wₙ) ≥ 1 조건 하에 부등식이 뒤집힌다.
• 부등식은 f(x₁), f(xₙ), 그리고 f(x₁ + xₙ − (1/Wₙ)∑wₖxₖ)를 사용하여 ∑h(wₖ/Wₙ)f(xₖ)에 대한 상한을 제공함으로써 h-Jensen 부등식을 개선한다.
• f(x) = |x| 및 h(t) = t일 때, 부등식은 ∑wₖ|xₖ| ≤ |x₁| + |xₙ| − |x₁ + xₙ − ∑wₖxₖ|로 단순화되며, 삼각부등식을 개선한다.
• f(x) = ||x||로 설정하여 선형 공간 L 내의 x에 대해 일반화하면, h-볼록성 제약 조건 하에 가중치 삼각부등식을 도출할 수 있다.
• 증명은 중점 대칭성과 h의 초곱성에 기반하여 f(yₖ) = f(x₁ + xₙ − xₖ)를 h-볼록성과 h-합 조건을 이용해 상한으로 제한한다.