[논문 리뷰] Meromorphic almost periodic functions

S. Favorov, Natalia D. Parfyonova|ArXiv.org|2007. 01. 28.

Meromorphic and Entire Functions인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 평면의 스트립에서 메로모르픽 거의 평형 함수를 정의하고, 구면 거리계를 사용하여 해석적 거의 평형 함수의 일반화를 시도한다. 모든 메로모르픽 거의 평형 함수는 두 해석적 거의 평형 함수의 몫임을 증명하고, 이러한 함수에 대한 보흐너 기준을 수립하며, 이러한 함수에서 유래하는 영점 및 극점 집합(즉, 디바이저)의 완전한 특성화를 제공한다. 이로써 이러한 디바이저는 거의 평형이면서 분리되어 있어야 하며, 동일한 'c-디바이저' 불변량을 가져야 한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We study meromorphic functions in a strip almost periodic with respect to the spherical metric. Then we get a complete description of zeros and poles for this class of functions, find a condition for a meromorphic almost periodic function to be a quotient of two holomorphic almost periodic function, find a necessary and suficient condition for sum and product of almost periodic meromorphic functions to be almost periodic.

연구 동기 및 목표

• 복소 스트립에서 구면 거리계를 사용하여 메로모르픽 거의 평형 함수를 정의하고 연구한다.
• 메로모르픽 거의 평형 함수의 클래스가 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있는지 조사한다.
• 메로모르픽 거의 평형 함수에 대응하는 디바이저(영점 및 극점 집합)의 특성화를 수립한다.
• 모든 메로모르픽 거의 평형 함수는 두 해석적 거의 평형 함수의 몫임을 증명한다.
• 두 거의 평형 집합이 메로모르픽 거의 평형 함수의 영점 및 극점 집합이 될 수 있는 조건을 제공한다.

제안 방법

• 복소 스트립 S의 부분스트립 S′⊂⊂S에서 구면 거리계 하에 ε-S′-거의 평형 주기의 상대 밀도를 통해 메로모르픽 거의 평형 함수를 정의한다.
• 콤��� 집합에서 메로모르픽 함수가 구면 거리계 하에 균일 연속임을 이용하여 변화를 통제한다.
• 일반적인 거의 평형성의 보흐너 기준을 적용하여 번역의 수열 수렴을 통해 메로모르픽 거의 평형 함수를 특성화한다.
• 이전 연구들(예: [11,12])에서 얻은 거의 평형 디바이저와 그 'c-디바이저' 불변량에 대한 결과를 활용하여 영점 및 극점 집합을 분석한다.
• 실수 벡터 공간 R ∧_Z R의 구조를 이용하여 디바이저의 c-불변량을 특성화하고, 이와 분석적 거의 평형 함수의 주어진 영점 집합을 갖는 존재성과 연결한다.
• 디바이저 d가 메로모르픽 거의 평형 함수의 디바이저일 조건은, 그 양의 부분과 음의 부분이 분리되어 있고, 거의 평형이며, c-불변량이 동일한 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메로모르픽 거의 평형 함수의 클래스는 스트립의 부분스트립에서 거의 평형 주기의 상대 밀도와 구면 거리계를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 두 메로모르픽 거의 평형 함수의 합 또는 곱은 반드시 메로모르픽 거의 평형 함수인가?
• RQ3 어떤 조건에서 분리되어 있고 거의 평형인 두 집합이 메로모르픽 거의 평형 함수의 영점 및 극점 집합이 될 수 있는가?
• RQ4 모든 메로모르픽 거의 평형 함수는 두 해석적 거의 평형 함수의 몫으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 c-불변량이 메로모르픽 거의 평형 함수에서 유래하는 디바이저의 존재성을 결정하는 데 어떤 정확한 역할을 하는가?

주요 결과

• 메로모르픽 거의 평형 함수의 클래스는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있지 않으며, sin(√2πz)와 1/sin(πz)를 포함한 반례로 이를 입증한다.
• 모든 메로모르픽 거의 평형 함수는 두 해석적 거의 평형 함수의 몫임을 증명한 것은 핵심적인 구조적 결과이다.
• 메로모르픽 거의 평형 함수의 균일한 극한은 메로모르픽 거의 평형 함수이므로, 균일 수렴에 대해 닫혀 있음을 보장한다.
• 메로모르픽 거의 평형 함수의 영점과 극점은 분리되어 있는 거의 평형 집합을 이룬다. 즉, 임의의 부분스트립 S′⊂⊂S에 대해 inf{|z−z′| : z∈N, z′∈P} > δ(S′,f) > 0 이다.
• 스트립 S 내의 디바이저 d가 메로모르픽 거의 평형 함수의 디바이저일 조건은 다음과 같다: (i) 영점 및 극점 집합이 분리되어야 하며; (ii) 둘 다 거의 평형 디바이저여야 하며; (iii) c-불변량이 동일해야 한다.
• 디바이저 d의 c-불변량은 R ∧_Z R의 원소이며, c(d⁺) = c(d⁻) 조건은 주어진 디바이저를 갖는 메로모르픽 거의 평형 함수의 존재성에 필수적이고 충분한 조건이다.