[논문 리뷰] Meromorphic open-string vertex algebras and Riemannian manifolds

Yi-Zhi Huang|ArXiv.org|2012. 05. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 4인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 리만다운 다양체 $M$ 위의 층의 전역 섹션을 이용해 미분형 열린 끈 버텍스 대수 $V_M$ 와 그 모듈 $W_M$ 를 구성한다. 이는 공변 도함수와 평행 텐서 장을 사용한다. 주요 결과는 $M$ 상의 미분형 함수들에 작용하는 버텍스 연산자에서 성분으로서 라플라스 연산자 $Δ$ 가 나타나며, 기하학적 미분 연산자의 버텍스 대수적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a Riemannian manifold. For $p\in M$, the tensor algebra of the negative part of the (complex) affinization of the tangent space of $M$ at $p$ has a natural structure of a meromorphic open-string vertex algebra. These meromorphic open-string vertex algebras form a vector bundle over $M$ with a connection. We construct a sheaf $\mathcal{V}$ of meromorphic open-string vertex algebras on the sheaf of parallel sections of this vector bundle. Using covariant derivatives, we construct representations on the spaces of complex smooth functions of the algebras of parallel tensor fields. These representations are used to construct a sheaf $\mathcal{W}$ of left $\mathcal{V}$-modules from the sheaf of smooth functions. In particular, we obtain a meromorphic open-string vertex algebra $V_{M}$ of the global sections on $M$ of the sheaf $\mathcal{V}$ and a left $V_{M}$-module $W_{M}$ of the global sections on $M$ of the sheaf $\mathcal{W}$. By the definitions of meromorphic open-string vertex algebra and left module, we obtain, among many other properties, operator product expansion for vertex operators. We also show that the Laplacian on $M$ is in fact a component of a vertex operator for the left $V_{M}$-module $W_{M}$ restricted to the space of smooth functions.

연구 동기 및 목표

• 두 차원에서의 비선형 시그마 모델에 대한 수학적 프레임워크를 버텍스 대수적 구조를 통해 제공하기 위해.
• 대부분의 상호작용을 포함한 양자장이론을 곡면 타겟에서 구성하는 데 도전하는 문제를 대수기하학과 표현론을 통해 해결하기 위해.
• 리만다운 다양체 위의 라플라스 연산자를 버텍스 대수적 설정에서 버텍스 연산자의 성분으로 실현하기 위해.
• 평행 섹션과 공변 도함수를 통해 평탄한 공간에서의 버텍스 대수의 구성 방식을 곡면 다양체로 확장하기 위해.
• 매끄러운 함수들에서 $M$ 상에 대한 층 이론적 구성 방식을 통해 미분형 열린 끈 버텍스 대수와 그 모듈을 수립하기 위해.

제안 방법

• 접선 공간의 복소 아핀화의 음성 부분의 텐서 대수를 이용해 $M$ 위에 미분형 열린 끈 버텍스 대수의 벡터 번들의 구성.
• 이 벡터 번들의 평행 섹션의 층에서 $M$ 상에 대한 미분형 열린 끈 버텍스 대수의 층 $\mathcal{V}$ 정의.
• 공변 도함수를 사용해 $\mathcal{V}$ 의 표현을 매끄러운 함수들의 공간에 정의함으로써 $\mathcal{V}$-왼쪽 모듈의 층 $\mathcal{W}$ 를 유도.
• 요소 $g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1) \in V_U$ 를 정규 직교 기저의 합으로 식별하여 대수 내 핵심 버텍스 연산자로 표현.
• 정규 순서화된 곱 전개와 버텍스 대수의 기법을 적용해 $Y_{W_U}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ 의 $x^{-2}$ 계수를 계산.
• 이 계수가 리치 곡률 수축 $\sum_i \nabla^2_{E_i,E_i}$ 와의 식별을 통해 매끄러운 함수 위에서 라플라스 연산자 $Δ$ 로 작용하는 것으로 보여줌.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 리만다운 다양체에서 비선형 열린 끈 버텍스 대수를 구성하여 양자 비선형 시그마 모델을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 리만다운 다양체 위의 라플라스 연산자는 버텍스 대수적 프레임워크에서 버텍스 연산자의 성분으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 평행 텐서 장과 공변 도함수는 매끄러운 함수 위에서 버텍스 대수의 표현을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $M$ 상에 대한 층 이론적 구성 방식이 곡률과 접속과 같은 기하학적 구조를 어떻게 반영하는가?
• RQ5 이 기하학적 버텍스 대수 설정에서 연산자 곱 전개의 대수적 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 라플라스 연산자 $Δ$ 는 $W_M$ 의 매끄러운 함수들에 작용하는 버텍스 연산자 $Y_{W_M}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ 의 $x^{-2}$ 계수로 실현된다.
• 버텍스 연산자 $Y_{W_M}(-g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1),x)$ 는 $f \in C^\infty(M)$ 에 작용할 때 성분으로 $Δ f$ 를 가지며, 이는 라플라스 연산자를 버텍스 연산자의 성분으로 식별함을 보여준다.
• 이 구성은 층 $\mathcal{V}$ 에서의 전역 섹션인 $V_M$ 이며, $V_M$ 은 전역 섹션의 공간으로서의 글로벌 미분형 열린 끈 버텍스 대수이다.
• 모듈 $W_M$ 은 층 $\mathcal{W}$ 의 전역 섹션의 공간으로 구성되며, 이는 $M$ 상의 매끄러운 함수들의 $V_M$-왼쪽 모듈이다.
• 버텍스 연산자의 곱 전개는 미분형 열린 끈 버텍스 대수와 그 모듈의 정의로부터 유도된다.
• $g_{\mathbb{C}}^{-1}(-1,-1)$ 와 $\sum_i (E_i|_p)(-1)(E_i|_p)(-1)\mathbf{1}$ 의 식별은 라플라스 연산자로 이어지는 버텍스 연산자 계산을 가능하게 한다.