[논문 리뷰] Mertens' theorem and prime number theorem for Selberg class

Yoshikatsu Yashiro|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 세르베르그 L-함수의 클래스에 대해 메르텐스의 제3정리와 소수정리의 일반화를 수행한다. 페론의 공식, 복소해석학, 영이 없는 영역 추정치를 활용하여, 세르베르그 클래스의 소수에 대한 오일러 곱에 대한 점근적 표현을 유도하며, 이 곱이 $ c_{-m} e^{eta m} ( ext{log} hinspace x)^m $의 형태로 증가함을 보이고, 정밀한 오차 항 $ O(e^{-C_F ext{sqrt}( ext{log} hinspace x)}) $을 도출한다. 또한 계수의 합계 함수에 대해 유사한 오차 항을 가진 대응하는 소수정리를 증명한다.

ABSTRACT

In 1874, Mertens proved the approximate formula for partial Euler product for Riemann zeta function at $s=1$, which is called Mertens' theorem. In this paper, we generalize Mertens' theorem for Selberg class and show the prime number theorem for Selberg class.

연구 동기 및 목표

• 리만 제타함수에 대해 원래 적용된 메르텐스의 제3정리를, 더 넓은 세르베르그 클래스의 L-함수로 확장하기 위해.
• 기존의 $\zeta(s)$에 대한 결과를 일반화하여, 확장된 세르베르그 클래스 $\mathcal{S}^\#$에 속하는 함수에 대한 소수정리를 수립하기 위해.
• 세르베르그 클래스에서 오일러 곱과 계수의 합계 함수에 대한 정밀한 점근적 공식을 유도하고, 명시적인 오차 항을 포함하기 위해.
• 영이 없는 영역 조건 (II)을 가정할 경우, 소수정리의 오차 항이 단순히 소수정리 조건을 가정하는 것보다 개선됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• Perron의 공식을 적용하여 $F(s)$의 로그 도함수를 소수와 소수 거듭제곱에 대한 합과 연결한다.
• 복소해석학과 경로적분을 이용하여 부분 오일러 곱의 적분 표현을 평가한다.
• $F(s)$의 함수방정식과 $\mathcal{S}^\#$ 내에서의 해석적 계속성 성질을 활용하여 $s=1$ 근처의 행동을 제어한다.
• 영이 없는 영역 조건 (II)을 도입하여 오차 항을 $O(1/\log x)$에서 $O(e^{-C_F\sqrt{\log x}})$로 개선한다.
• 부분합계 기법을 적용하여 $b_F(p)/p$에 대한 합을 $b_F(p)\log p / p$에 대한 합으로 변환함으로써 소수정리를 도출한다.
• 라마누잔 추측과 로그 도함수 전개 $\log F(s) = \sum b_F(n)n^{-s}$를 사용하여 계수의 성장을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메르텐스의 제3정리는 소수에 대한 곱 $\prod_{p\leq x} (1 - 1/p)^{-1}$의 점근적 행동을 제공하지만, 이는 세르베르그 클래스의 L-함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 리만 제타함수 $\zeta(s)$에 대한 소수정리는 확장된 세르베르그 클래스 $\mathcal{S}^\#$에 속하는 함수로 일반화될 수 있으며, 유사한 오차 항을 가질 수 있는가?
• RQ3 함수 $F \in \mathcal{S}^\#$에 대해 오일러 곱 $\prod_{p\leq x} \prod_{j=1}^k (1 - \alpha_j(p)/p)^{-1}$의 정밀한 점근적 형태는 무엇이며, 오차 항은 영이 없는 영역에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 영이 없는 영역 (II) 조건을 가정할 경우, 단순히 소수정리 조건을 가정하는 것보다 소수정리의 오차 항은 어떻게 향상되는가?
• RQ5 일반화된 메르텐스 상수 $M$은 계수 $b_F(p^r)$와 잔여류 $c_{-m}$를 통해 명시적으로 정의될 수 있는가?

주요 결과

• 확장된 세르베르그 클래스 $\mathcal{S}^\#$에 속하는 $F$에 대해 일반화된 메르텐스 정리는 $\prod_{p\leq x} \prod_{j=1}^k (1 - \alpha_j(p)/p)^{-1} = c_{-m} e^{\gamma m} (\log x)^m (1 + O(e^{-C_F\sqrt{\log x}}))$로 표현되며, 여기서 $c_{-m} = \lim_{s\to 1} (s-1)^m F(s)$이다.
• 영이 없는 영역 조건 (II) 하에서 메르텐스 유형 곱의 오차 항은 $O(1/\log x)$에서 $O(e^{-C_F\sqrt{\log x}})$로 개선되며, 이는 단순히 소수정리 조건을 가정하는 것보다 더 강력한 조건이다.
• 세르베르그 클래스에 대한 소수정리는 $\sum_{n\leq x} b_F(n) \log n = m x + O(x e^{-C_F^{\prime\prime}\sqrt{\log x}})$로 표현되며, 여기서 $C_F^{\prime\prime} < C_F$이다.
• 일반화된 메르텐스 상수 $M$은 $\log c_{-m} + m\gamma - \sum_p \sum_{r=2}^\infty \frac{b_F(p^r)}{p^r}$로 명시적으로 정의되며, 이는 소수에 대한 로그 합의 상수항을 제어한다.
• 증명은 소수정리의 오차 항이 영이 없는 영역에 직접적으로 연결되어 있음을 보여주며, 영역이 클수록 오차 항이 작아진다.
• 결과는 디데킨드 제타함수 $\zeta_K(s)$에 대해 알려진 정리들을 복원하고 개선하며, 여기서 $\alpha_K = \text{Res}_{s=1} \zeta_K(s)$이고 오차 항은 $O(e^{-C_K\sqrt{\log x}})$이다.