[논문 리뷰] Metaplectic tensor products for automorphic representations of $\widetilde{GL}(r)$

Shuichiro Takeda|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 12.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $n$-중 메타플레틱 커버 $\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$ 위의 자동형 표현에 대해 글로벌 메타플레틱 텐서곱을 구축하며, Mezo의 국소적 구성으로 일반화한다. 기술적 가정(항상 $n=2$일 때 성립) 하에, $\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 위에 존재하는 자동형 표현 $\pi$가 Mezo의 국소적 메타플레틱 텐서곱과 국소적으로 동형임을 증명하고, 임계성 및 중심에 대한 제곱-integrability 성질이 이 구성에서 유지됨을 보인다.

ABSTRACT

Let $M=GL_{r_1} imes\cdots imes GL_{r_k}\subseteq GL_r$ be a Levi subgroup of $GL_r$, where $r=r_1+\cdots+r_k$, and $ ilde{M}$ its metaplectic preimage in the metaplectic cover $ ilde{GL}_r$ of $GL_r$. For automorphic representations $π_1,\dots,π_k$ of $ ilde{GL}_{r_1}(\A),\dots, ilde{GL}_{r_k}(\A)$, we construct an automorphic representation $π$ of $ ilde{M}(\A)$ which can be considered as the "tensor product" of the representations $π_1,\dots,π_k$. This is the global analogue of the metaplectic tensor product defined by P. Mezo in the sense that locally at each place $v$, $π_v$ is equivalent to the local metaplectic tensor product of ${π_1}_v,\dots,{π_k}_v$ defined by Mezo. Then we show that if all of $π_i$ are cuspidal (resp. square-integrable modulo center), then the metaplectic tensor product is cuspidal (resp. square-integrable modulo center). We also show that (both locally and globally) the metaplectic tensor product behaves in the expected way under the action of a Weyl group element, and show the compatibility with parabolic inductions.

연구 동기 및 목표

• Mezo의 국소적 메타플레틱 텐서곱 구성 방식을 $n$-중 메타플레틱 커버 $\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$ 위의 자동형 표현에 대해 글로벌 환경으로 확장한다.
• 글로벌-국소적 호환성을 확립하여, 글로벌 구성이 각 위치에서 Mezo의 국소적 텐서곱과 일치함을 보장한다.
• 메타플레틱 텐서곱이 중요한 표현론적 성질인 임계성 및 중심에 대한 제곱-integrability를 유지함을 증명한다.
• 메타플레틱 텐서곱이 웨일 군 작용과 포화 유도에 대해 어떻게 행동하는지 조사한다.
• 특히 $n > 2$일 때 구성이 잘 정의되기 위한 조건을 규명하고, $n=2$ 또는 특정 최대공약수 조건을 만족할 경우 이러한 조건이 성립함을 보인다.

제안 방법

• 각 국소 표현 $\pi_v$가 $\pi_{1,v}, \dots, \pi_{k,v}$의 Mezo의 국소적 메타플레틱 텐서곱과 동형임을 만족하는 제한된 텐서곱 $\pi = \widetilde{\otimes}'_v \pi_v$로 글로벌 메타플레틱 텐서곱 $\pi$를 구성한다.
• 리만 부분군 $M$과 커버 차수 $n$에 대해 Hypothesis ($\ast$)를 도입하며, 이는 글로벌 구성의 존재를 보장한다; 이 가정은 항상 $n=2$일 때 성립한다.
• 메타플레틱 커버 $\widetilde{\mathrm{GL}}_r$의 구조와 $\widetilde{\mathrm{GL}}_r$ 내부의 preimage $\widetilde{M}$을 이용하여 국소 성분과의 호환성을 통해 글로벌 표현을 정의한다.
• $n=2$일 경우 $\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 내의 산술 부분군의 닫힘성과 이산성에 관한 결과를 적용하여, 얻어진 표현이 자동형임을 보장한다.
• 제한된 텐서곱 구성 방식을 활용하여 $\pi$를 $\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 위의 자동형 형태의 부분표현으로 정의하며, $\pi_i$에 대한 유니타리성 및 부분표현 가정을 활용한다.
• 웨일 군 작용과 포화 유도의 행동을 분석하여, 텐서곱 구성이 웨일 군의 순열에 따라 기대하는 바와 같이 변환됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mezo의 국소적 메타플레틱 텐서곱 구성 방식을 $\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$ 위의 글로벌 자동형 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 $\widetilde{\mathrm{GL}}_{r_i}(\mathbb{A})$ 위의 자동형 표현들의 글로벌 메타플레틱 텐서곱이 $\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 위에 잘 정의된 자동형 표현을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 글로벌 메타플레틱 텐서곱은 입력 표현들의 임계성 성질을 유지하는가?
• RQ4 메타플레틱 텐서곱은 웨일 군 작용과 포화 유도에 대해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 $n > 2$일 때 구성이 유효해지기 위한 정확한 수론적 조건은 무엇이며, 이 조건들이 $n=2$ 또는 특정 최대공약수 조건을 만족할 경우 성립하는가?

주요 결과

• 글로벌 메타플레틱 텐서곱 $\pi$는 존재하며, 제한된 텐서곱 $\widetilde{\otimes}'_v \pi_v$와 동형이다. 여기서 각 $\pi_v$는 Mezo의 국소적 메타플레틱 텐서곱이다.
• 모든 입력 표현 $\pi_1, \dots, \pi_k$가 임계적이라면, 결과로 얻어진 글로벌 표현 $\pi$ 역시 임계적이다.
• 모든 $\pi_i$가 중심에 대해 제곱-integrable이라면, $\pi$ 역시 중심에 대해 제곱-integrable이다.
• 구성은 웨일 군 작용과 호환되며, 이는 $\pi_i$의 웨일 군 순열에 따라 텐서곱이 기대하는 방식으로 변환됨을 의미한다.
• 구성은 포화 유도와 호환되며, 표준 유도 함수자에 의해 기대되는 구조를 유지한다.
• $n=2$일 경우 기술적 가정 ($\ast$)은 항상 만족되며, 추가 가정 없이 구성이 유효하다. $n>2$일 경우, $\gcd(n, r-1+2cr)=1$ 등의 조건 하에 성립한다.