[논문 리뷰] Metaplectic Whittaker category and quantum groups : the "small" FLE

Dennis Gaitsgory, S. D. Lysenko|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 인수분해 구조, 히코 바이러티, 반무한 기하학을 통해 메타플레틱 월리스 카테고리의 구성과 분석을 통해 메타플레틱 설정에서 '작은' FLEC (프로베누스-랑랜즈-타원) 등가를 수립한다. 메타플레틱 월리스 카테고리가 히코 바이러티 고유물체의 카테고리와 등가임을 증명하며, 양자군의 쌍대성과 메타플레틱 맥락에서의 기하학적 사타케를 활용하여 고전적 월리스-히코 대응을 메타플레틱 군으로 일반화한다.

ABSTRACT

We prove that the category of Hecke eigensheaves in the metaplectic Whittaker category of the affine Grassmannian is equivalent to the category of modules over the small quantum group. This a step towards proving the FLE: the fundamental local equivalence in the quantum geometric Langlands theory.

연구 동기 및 목표

• 메타플레틱 설정에서 '작은' FLEC (프로베누스-랑랜즈-타원) 등가를 수립하여 고전적 월리스-히코 대응을 메타플레틱 군으로 확장한다.
• 메타플레틱 데이터에 대한 인수분해 대수, 구성 공간, 기하학적 사타케를 활용하여 메타플레틱 월리스 카테고리를 정의하고 연구한다.
• 메타플레틱 월리스 카테고리가 히코 고유물체의 카테고리와 등가임을 증명하여 고전적 히코 고유층 성질을 메타플레틱 경우로 일반화한다.
• 메타플레틱 월리스 카테고리와 아핀 그라스만리안 위의 반무한 IC 층 사이의 글로벌-로컬 등가를 수립한다.
• 메타플레틱 기하학적 사타케와 쌍대성 이론을 개발하며, 메타플레틱 쌍대 데이터와 단위 구조의 역할을 포함한다.

제안 방법

• 아르틴-슐라이어 층을 이용한 *-컨볼루션과 잭류 함수를 활용하여, 표시점이 있는 구성 공간 위의 층의 전부인 하위카테고리로서 메타플레틱 월리스 카테고리를 구성한다.
• 푸리에-델리뉴 변환의 그림을 적용하여, 함수 $\operatorname{Av}^{\mathbb{G}_a,\chi}_*$ 와 $\operatorname{Av}^{\mathbb{G}_a,\chi}_!$ 를 통해 *-키릴로프 및 !-키릴로프 카테고리 간의 관계를 설정한다.
• 함수 $j: \mathbb{G}_a \setminus \{0\} \hookrightarrow \mathbb{G}_a$ 를 고려하여, $j_*({\mathsf{e}})[3]\overset{!}{\star}-$ 와 $j_!({\mathsf{e}})[-1]\overset{*}{\star}-$ 를 포함하는 수반 함수를 통해 $\operatorname{Kir}_*(\mathcal{Y}) \simeq \operatorname{Kir}_!(\mathcal{Y})$ 의 등가를 확립한다.
• 레프셰츠 원리와 리만-힐베르트 대응을 적용하여 정칙 D-모듈의 등가로 감소시키며, 구성 가능 설정에서 * 및 !-키릴로프 함수의 등가를 증명한다.
• 메타플레틱 쌍대 데이터를 활용하여 메타플레틱 기하학적 사타케 대응을 개발하고, 버드리어 쌍대성과의 호환성을 보인다.
• 반무한 궤도를 통한 란 공간 형식론을 활용하여, 월리스 카테고리의 글로벌 정의를 코인variants로 정의하고, 국소-글로벌 등가를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자군의 쌍대성을 활용하여 고전적 월리스-히코 대응을 메타플레틱 설정으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 인수분해 대수와 구성 공간을 기반으로 메타플레틱 월리스 카테고리의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 *- 및 !-키릴로프 함수는 메타플레틱 설정에서 어떻게 관련되어 있으며, 서로 등가인가?
• RQ4 반무한 IC 층은 메타플레틱 월리스 카테고리에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 글로벌 히코 성질과의 관계는 무엇인가?
• RQ5 잭류 함수와 글로벌-로컬 등가를 통해 메타플레틱 월리스 카테고리 위의 히코 고유물체 성질을 어떻게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 메타플레틱 월리스 카테고리는 히코 고유물체의 카테고리와 등가이며, 이는 고전적 히코 고유층 성질을 메타플레틱 군으로 일반화한다.
• *-키릴로프 및 !-키릴로프 카테고리는 $j_*({\mathsf{e}})[3]\overset{!}{\star}-$ 와 $j_!({\mathsf{e}})[-1]\overset{*}{\star}-$ 를 포함하는 상호 역함수를 통해 등가임을 증명하며, 리만-힐베르트 대응을 통해 이를 입증한다.
• 메타플레틱 월리스 카테고리는 아르틴-슐라이어 층을 이용한 *-컨볼루션에 의해 작용하는 $\operatorname{Shv}({\mathcal{Y}})^{\mathbb{G}_m}$ 의 전부인 하위카테고리로 정의된다.
• 랜 공간 형식론을 통한 글로벌 정의인 메타플레틱 월리스 카테고리의 코인variants 정의는 국소 정의와 등가이다.
• 아핀 그라스만리안 위의 반무한 IC 층은 히코 고유물체이며, 비틀린 $T$-등변 구조를 통해 글로벌하게 히코 성질이 입증된다.
• 메타플레틱 월리스 카테고리의 t-구조는 히코 작용과 호환되며, 기하학적 히코 카테고리와 메타플레틱 쌍대 데이터를 통한 불가약한 대상들이 기술된다.