[논문 리뷰] Metastability for systems of interacting neurons

Eva Löcherbach, Pierre Monmarché|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 28.

Neural dynamics and brain function참고 문헌 22인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 초위상 시냅스 가중치 h를 가진 N개의 상호작용하는 뉴런으로 구성된 시스템에서 비안정 행동을 규명하며, 평균 스파iking 속도가 N에 대해 지수적으로 긴 시간 동안 비자명한 평형 근처에 머무르는 것을 증명한다. 커플링 및 대규모 편차 기법을 사용하여, 평형 주변의 이탈 시간을 재스케일링한 결과, N → ∞일 때 법칙적으로 지수 분포로 수렴함을 보이며, 충분히 큰 h를 가진 포화 스파이킹 속도 함수 하에서의 비안정성을 확인한다.

ABSTRACT

We study a stochastic system of interacting neurons and its metastable properties. The system consists of $N$ neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. At its spiking time, the neuron potential is reset to $0$ and all other neurons receive an additional amount $h/N$ of potential. In between successive spike times, each neuron looses potential at exponential speed. We study this system in the supercritical regime, that is, for sufficiently high values of the synaptic weight $h.$ Under very mild conditions on the spiking rate function, is has been shown in Duarte and Ost \cite{do} that the only invariant distribution of the finite system is the trivial measure $ \delta_{\bf 0}$ corresponding to extinction of the process. Under minimal conditions on the behavior of the spiking rate function in the vicinity of $0$, we prove that the extinction time arrives at exponentially late times in $ N$, and discuss the stability of the equilibrium $\delta_{\bf 0}$ for the non-linear mean-field limit process depending on the parameters of the dynamics. We then specify our study to the case of saturating spiking rates and show that, under suitable conditions on the parameters of the model, 1) the non-linear mean-field limit admits a unique and globally attracting equilibrium and 2) the rescaled exit times for the mean spiking rate of a finite system from a neighbourhood of the non-linear equilibrium rate converge in law to an exponential distribution, as the system size diverges. In other words, the system exhibits a metastable behavior.

연구 동기 및 목표

• 고정된 상호작용 뉴런 시스템에서의 비안정 행동을 수학적으로 형식화하고 증명하기.
• 확산이 거의 확실한 초위상 영역(h가 크기)에서 시스템의 장기적 역학 분석하기.
• 시스템 크기 N → ∞일 때, 비안정 상태 주변에서의 재스케일링된 이탈 시간이 지수 분포로 수렴함을 확립하기.
• 비선형 평균장 근사에서 유일하고 전역적으로 끌리는 비자명한 평형이 존재하는 조건을 규명하기.
• 커플링 및 대규모 편차 방법을 사용하여 비안정성의 세 핵심 요소인 빠른 재진입, 느린 탈출, 빠른 열화를 엄밀히 증명하기.

제안 방법

• 누설 막 전위와 스파이크 유도 시냅스 가중치 h/N를 가진 N개의 상호작용 뉴런을 위한 조각별 결정성 마르코프 과정(PDMP) 모델 도입.
• 동일한 점프 시간과 초기 조건을 가진 두 시스템 간의 커플링 기법을 사용하여 경로 수렴 및 혼합 시간 분석.
• 전체 스파이킹 속도에 대한 대규모 편차 원리(LDP)를 활용해 퇴화 시간의 하한을 도출하기 위해 간소화된 보조 과정 Z^N을 사용.
• 특히 비안정 상태 근처에서 평균장 경로에서 벗어나는 경로의 확률을 제어하기 위해 대규모 편차 추정을 적용.
• Brassesco, Olivieri, 및 Vares의 프레임워크를 적응하여 비안정성의 세 요소인 빠른 재진입, 느린 탈출, 빠른 열화를 검증.
• 시간 분할 기법과 지수 모멘트 경계를 사용하여, 커플링된 과정에서 이질적 스파이크 및 발산의 확률을 제어.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스파이킹 속도 함수 λ에 대해 어떤 조건을 만족할 경우 유한한 시스템이 지수적으로 긴 평균 수명을 가지는 비안정 행동을 나타내는가?
• RQ2 N → ∞일 때, 비자명한 평형 주변의 이웃에서 재스케일링된 이탈 시간이 분포적으로 지수 법칙으로 수렴하는가?
• RQ3 비선형 평균장 근사에서 비자명한 불변 측도가 유일하고 전역적으로 끌리는 조건은 무엇인가?
• RQ4 커플링 기법과 대규모 편차 추정이 이 비가역적이고 역전이가 불가능한 시스템에서 비안정성의 세 핵심 요소를 어떻게 확립하는가?
• RQ5 초위상 영역에서 퇴화 시간의 정확한 척도는 무엇이며, 시냅스 가중치 h와 도함수 λ′(0)에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• λ′(0)h > α를 만족하는 포화 스파이킹 속도 함수 하에서, 비선형 평균장 근사에서 유일하고 전역적으로 끌리는 비자명한 평형이 존재한다.
• N → ∞일 때, 비자명한 평형 주변의 이웃에서 평균 스파이킹 속도의 재스케일링된 이탈 시간이 법칙적으로 지수 분포로 수렴한다.
• 유한한 시스템의 퇴화 시간은 N에 대해 지수적으로 크며, λ′(0)h가 충분히 크면 P(퇴화 시간 > e^{cN}) → 1을 만족하는 c > 0가 존재한다.
• 커플링된 과정 (U^N, ˜U^N)은 ζ ∈ (0,1]에 대해 P(U^N(Nζ) ≠ ˜U^N(Nζ)) ≤ Ce^{-θNζ}를 만족함으로써, 시간 척도 Nζ에서 빠른 열화를 확인한다.
• 시스템은 비안정 상태 주변으로 빠르게 재진입하고, 그로부터 느리게 탈출하며, 탈출 시간이 N에 대해 지수적으로 크므로 비안정 영역임을 확인한다.
• 커플링 및 대규모 편차 추정을 통해 이탈 시간의 지수 법칙 수렴을 확립하였으며, 비안정 상태에서의 이격 확률에 대한 명시적 지수 尾 꼬리 경계를 제공한다.