[논문 리뷰] Methodology of Numerical Computations with Infinities and Infinitesimals

Yaroslav D. Sergeyev|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 14.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 새로운 숫자 체계를 기반으로 한 계산 방법론을 제안하며, 이는 유한수와 무한소를 일관된 산술 체계 내에서 수치적 양으로 간주함으로써 무한수와 무한소 수치의 정확한 계산을 가능하게 한다. '부분은 전체보다 작다'는 원칙을 유한수, 무한수, 무한소 수에 모두 적용함으로써, 무한집합과 발산급수의 역설을 해결하고, 모든 비불가능한 사건 이외의 사건에 대해 유한 또는 무한소 확률을 부여함으로써 분석 및 확률론에 대해 물리적으로 타당하고 도구 의존적인 접근을 제공한다.

ABSTRACT

A recently developed computational methodology for executing numerical calculations with infinities and infinitesimals is described in this paper. The developed approach has a pronounced applied character and is based on the principle `The part is less than the whole' introduced by Ancient Greeks. This principle is used with respect to all numbers (finite, infinite, and infinitesimal) and to all sets and processes (finite and infinite). The point of view on infinities and infinitesimals (and in general, on Mathematics) presented in this paper uses strongly physical ideas emphasizing interrelations holding between a mathematical object under the observation and tools used for this observation. It is shown how a new numeral system allowing one to express different infinite and infinitesimal quantities in a unique framework can be used for theoretical and computational purposes. Numerous examples dealing with infinite sets, divergent series, limits, and probability theory are given.

연구 동기 및 목표

• 무한수와 무한소 수치에 대한 수치 연산을 가능하게 하는 일관된 산술 체계를 기반으로 한 계산 방법론을 개발하는 것.
• 유한수, 무한수, 무한소 수에 대해 '부분은 전체보다 작다'는 원칙을 적용함으로써, 힐베르트의 대왕호텔, 짝수의 집합 등 고전적 무한의 역설을 해결하는 것.
• 관측 대상과 측정 도구 간의 관계를 모델링하여 수학적 대상에 대해 물리적으로 타당한 접근을 제공하는 것. 이는 물리적 관측과 유사하다.
• 무한수와 무한소 양을 명시적으로 표현할 수 있는 새로운 숫자 체계를 도입함으로써, 분석, 확률론, 집합론에서 정밀한 수치 계산을 가능하게 하는 것.
• 거스오넘 기반 숫자 체계를 바탕으로 한 새로운 산술을 통해 ∞−∞, ∞/∞ 등의 부정확한 연산을 잘 정의된 결과로 대체하는 것.

제안 방법

• 새로운 숫자 체계를 사용하여 ①(거스오넘) 기호를 통해 무한 단위를 표현함으로써, 무한수와 무한소 양을 직접적으로 수치적으로 다룰 수 있도록 하는 것.
• 유한수, 무한수, 무한소 수에 대해 '부분은 전체보다 작다'는 원칙을 일관되게 적용함으로써, 모든 척도에서 일관성을 확보하는 것.
• 무한수와 무한소 수에 대해 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 정의된 새로운 산술 체계를 구축하여, 부정형을 피하는 것.
• 측정 정밀도를 모델링하기 위해 다양한 숫자 체계(예: ①, ①²)를 선택함으로써, 선택에 따라 해상도가 결정되고, 따라서 관측 가능한 점 또는 사건의 수가 결정됨.
• 확률론에서 표본공간 크기 N(Ω)는 선택된 숫자 체계에 의해 결정되며(예: N(Ω) = ①), 확률은 P(E) = N(E)/N(Ω)로 계산되며, 이는 모델의 정밀도에 따라 유한수 또는 무한소가 될 수 있음.
• 연속된 물체 위의 점(유한한 m)과 호(무한한 m)를 구분함으로써, 관측 도구의 정밀도에 따라 이산적 및 연속적 모델을 통합적으로 다룰 수 있도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한수와 무한소 수치에 대한 수치 계산을 어떻게 잘 정의하고 일관성 있게 만들 수 있으며, ∞−∞나 ∞/∞와 같은 부정형을 피할 수 있는가?
• RQ2 유한수, 무한수, 무한소 수에 대해 '부분은 전체보다 작다'는 원칙을 통일적으로 적용할 수 있는가? 이를 통해 고전적 무한의 역설을 해결할 수 있는가?
• RQ3 측정 도구의 정밀도에 따라 모든 비불가능한 사건에 대해 양의 유한 또는 무한소 확률을 할당할 수 있는가? 이를 통해 확률론을 재구성할 수 있는가?
• RQ4 거스오넘 기반의 새로운 숫자 체계는 분석, 집합론, 발산급수에서 얼마나 정밀한 수치 계산을 가능하게 하는가?
• RQ5 숫자 체계의 선택(예: ① 대비 ①²)은 연속적 및 이산적 맥락에서 수학 모델의 해상도와 정확도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이 방법론은 거스오넘(①)을 기반으로 한 일관된 산술 체계를 사용하여 무한수와 무한소 수치에 대한 직접적인 수치 계산을 가능하게 하며, ∞−∞와 같은 정의되지 않은 연산을 피한다.
• 모든 비불가능한 사건에 대해 양의 확률이 있으며, 이는 선택된 숫자 체계에 따라 유한수 또는 무한소가 될 수 있어, 고전적인 문제인 비어있지 않은 집합에 대해 확률을 0으로 할당하는 것을 제거한다.
• 원 위의 관측 가능한 점의 수는 선택된 숫자 체계에 의해 결정된다. 예를 들어, 형식 i·2πr/①의 숫자 체계를 사용할 경우 ①개의 관측 가능한 점이 있으며, 유한한 m에 대해 사건의 확률은 m/① > 0이 되어 무한소 확률을 얻는다.
• 이 모델은 유한한 m에 해당하는 점과 무한한 m에 해당하는 호를 구분함으로써, 관측 도구의 정밀도에 따라 이산적 및 연속적 모델을 통합적으로 다룰 수 있도록 한다.
• 이 방법론은 유한한 수의 객실(예: ①)을 할당하고, 객실 이동이 새로운 산술 체계 내에서 유효한 연산임을 보여줌으로써 힐베르트의 대왕호텔 역설을 해결한다. 이는 '무한에 1을 더하는 것'과 같은 직관에 어긋나는 결론을 피한다.
• 이 방법론은 수학적 결과가 측정 도구에 따라 달라지는 물리적으로 타당한 프레임워크를 제공하며, 이는 물리적 관측과 유사하다. 따라서 무한수와 무한소에 대해 더 현실적인 해석을 지원한다.