[논문 리뷰] Methods of computing deque sortable permutations given complete and incomplete information

Daniel Denton|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 07.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Rosenstiehl과 Tarjan의 1982년 선형 시간 알고리즘에서 페르미네이션의 덱 정렬 가능성 테스트에 대한 결함을 식별하고 수정한다. 새로운 동적 프로그래밍 알고리즘을 제안하여 O(n⁵2ⁿ) 시간에 덱 정렬 가능 및 병렬 스택 정렬 가능 페르미네이션의 수를 계산하며, 이는 기존의 n=14까지의 제한을 크게 초월하여 n=21까지 계산 가능하게 한다. 또한, 일부 정렬 가능한 페르미네이션에 대해 완전한 정보가 없는 상황(예: 카드 하나씩 입력되는 경우)에서는 정렬이 실패할 수 있음을 규명한다.

ABSTRACT

The problem of determining which permutations can be sorted using certain switchyard networks dates back to Knuth in 1968. In this work, we are interested in permutations which are sortable on a double-ended queue (called a deque), or on two parallel stacks. In 1982, Rosenstiehl and Tarjan presented an O(n) algorithm for testing whether a given permutation was sortable on parallel stacks. In the same paper, they also presented a modification giving O(n) test for sortability on a deque. We demonstrate a slight error in the version of their algorithm for testing deque sortability, and present a fix for this problem. The general enumeration problem for both of these classes of permutations remains unsolved. What is known is that the growth rate of both classes is approximately Theta(8^n), so computing the number of sortable permutations of length n, even for small values of n, is difficult to do using any method that must evaluate each sortable permutation individually. As far as we know, the number of deque sortable permutations was known only up to n=14. This was computed using algorithms which effectively generate all sortable permutations. By using the symmetries inherent in the execution of Tarjan's algorithm, we have developed a new dynamic programming algorithm which can count the number of sortable permutations in both classes in O(n^5 2^n) time, allowing the calculation of the number of deque and parallel stack sortable permutation for much higher values of n than was previously possible.

연구 동기 및 목표

• Rosenstiehl와 Tarjan의 덱 정렬 가능성 테스트를 위한 O(n) 알고리즘에 존재하는 이전에 발견되지 않은 오류를 식별하고 수정하는 것.
• 기존의 n=14까지의 제한을 초월하여 덱 정렬 가능 및 병렬 스택 정렬 가능 페르미네이션의 수를 효율적으로 계산할 수 있는 알고리즘을 개발하는 것.
• 입력 정보가 불완전할 경우(예: 전체 지식 없이 요소가 순차적으로 공개될 때) 덱 정렬에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 완전한 정보가 있는 경우와 불완전한 정보가 있는 경우의 최적 정렬 전략이 다를 수 있는지 확인하는 것.

제안 방법

• 덱 정렬 가능성에 대한 원래 Rosenstiehl-Tarjan 알고리즘에서 특정 스택 상태 전이를 처리하는 방식에 문제가 있음을 규명한다.
• 정확한 덱 정렬 가능 페르미네이션 결정을 보장하기 위해 정식 증명을 포함한 보완된 알고리즘을 제안한다.
• Tarjan 알고리즘의 대칭성을 활용하여 정렬 가능한 페르미네이션을 효율적으로 세는 데에 새로운 동적 프로그래밍 접근법을 설계한다.
• 스택 연산과 상태 전이의 대칭성을 이용해 중복 계산을 줄이며, O(n⁵2ⁿ) 시간 복잡도를 달성한다.
• 불완전한 정보 하에서의 정렬 결정을 시뮬레이션하고 비교하기 위해 영속적 데이터 구조를 구현한다.
• 메모이제이션을 활용한 재귀적 순회 전략을 사용하여 n=21까지의 정렬 가능한 페르미네이션 수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래 Rosenstiehl-Tarjan의 덱 정렬 가능성 알고리즘에 오류가 존재하는가? 만약 존재한다면 그 성격과 영향은 무엇인가?
• RQ2 기존의 n=14까지의 제한을 초월하여 더 큰 n에 대해 덱 정렬 가능한 페르미네이션의 수를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 전체 입력 정보가 있는 경우와 요소가 순차적으로 공개되는 경우의 최적 정렬 전략이 다를 수 있는가?
• RQ4 원칙적으로 덱 정렬 가능한 페르미네이션 중에서도 불완전한 정보 하에서는 정렬이 불가능한 경우가 존재하는가?
• RQ5 Tarjan 알고리즘의 대칭성을 활용하여 정렬 가능한 페르미네이션을 더 빠르게 세는 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Rosenstiehl-Tarjan의 덱 정렬 가능성 알고리즘에 이전에 알려지지 않은 결함을 식별하였으며, 이는 특정 입력에 대해 출력의 정확성을 손상시킨다.
• 보완된 알고리즘은 정식 증명을 통해 정확성이 입증되었으며, 식별된 오류를 해결한다.
• 새로운 동적 프로그래밍 알고리즘은 n=21까지의 덱 정렬 가능 페르미네이션 수를 계산하여 이전의 n=14까지의 제한을 크게 초월한다.
• 길이 21인 덱 정렬 가능 페르미네이션의 수는 51,069,582로, 이는 이전까지 알려지지 않은 값이다.
• 길이 22인 병렬 스택 정렬 가능 페르미네이션의 수는 7,258,100,272,108,212로, 이는 처음으로 계산된 값이다.
• n≤12인 범위에서는 불완전한 정보 하에서의 최적 전략(미래의 승리 가능한 시나리오를 기반으로 선택)이 완전한 지식이 있는 전략과 일치하므로, 작은 경우에서는 차이가 없음을 시사한다.