[논문 리뷰] Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti

Leonhard Euler|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 26.

Advanced Numerical Analysis Techniques인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 고정된 둘레 하에서 최대 면적을 갖는 등 극값 성질을 갖는 곡선을 특징짓는 미분방정식을 유도하여, 특히 등주 문제에 대해 기초적인 방법을 제시한다.Euler는 변분 미분계수와 첫 번째 적분을 사용한 체계적인 변분법 접근을 도입하여, 수학적 물리학 및 최적화 분야의 후속 발전을 위한 초석을 마련한다.

ABSTRACT

This translation has been withdrawn due to certain imperfections and mistakes, which are corrected in the version uploaded at The Euler Archive (see E65 at http://www.eulerarchive.org/)

연구 동기 및 목표

• 고정된 제약 조건 하에서 특정 성질을 최대화 또는 최소화하는 곡선을 체계적으로 식별하는 일반적인 방법을 개발하기 위해.
• 고정된 면적을 둘러싸야 하는 가장 광범위한 의미에서 고전적 등주 문제를 해결하기 위해.
• 극값 곡선을 도출하기 위해 미분방정식을 사용하는 체계적인 접근을 체계화하기 위해.
• 변분법을 별개의 수학 분야로 정립하기 위한 기초를 다지기 위해.

제안 방법

• 극값 곡선을 위한 필수 조건을 도출하기 위해 변분법을 적용한다.
• 함수의 극값을 분석하기 위해 변분 미분계수의 사용을 도입한다.
• 자기 독립적 문제에 대해 오일러-라그랑주 방정식에서 첫 번째 적분을 도출한다.
• 치환과 단순화 기법을 사용하여 극값 곡선을 지배하는 미분방정식을 간소화한다.
• 특정 사례, 특히 등주 문제에 이 방법을 적용한다.
• 적분의 제약 조건이 있는 극값 문제를 해결하기 위한 일반적 프레임워크를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 제약 조건 하에서 주어진 성질을 최대화 또는 최소화하는 곡선을 체계적으로 결정할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 등주 문제에서 극값 곡선을 특징짓는 미분방정식은 무엇인가?
• RQ3 변분 원리가 기하학적 및 물리적 문제에서 극값을 위한 필요 조건을 유도하는 데 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ4 곡선을 따라 적분의 최적화를 다루는 문제를 해결하기 위해 사용할 수 있는 일반적인 방법은 무엇인가?

주요 결과

• Euler는 경계 조건이 고정된 변분 문제에 대해 기본적인 미분방정식(현재 오일러-라그랑주 방정식으로 알려진)을 도출한다.
• 자기 독립적 함수에 대해 첫 번째 적분이 존재함을 입증하여 해법 과정을 단순화한다.
• 등주 문제를 해결함으로써 해가 원임을 보여주어 고전적인 기하학적 통찰을 확인한다.
• 변분 문제를 해결 가능한 미분방정식으로 환원하는 일반적인 절차를 수립한다.
• 변분법의 기본 도구로 삼는 변분의 개념을 도입한다.
• 수학적 물리학 및 최적화 분야의 후속 발전을 위한 이론적 기초를 닦는다.