[논문 리뷰] Metric and homogeneous structure of closed range operators

Gustavo Corach, Alejandra Maestripieri외 1명|ArXiv.org|2005. 09. 14.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 38인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간 간 유계 선형 연산자에 대한 거리 및 동차 구조를 조사하며, 연산자 노름과 범위 사영 거리의 조합을 통해 정교화된 거리 $d_R$ 를 도입한다. 군 작용 $(G,H) \cdot A = GAH^{-1}$ 을 통해 동차 공간 구조를 수립하고, 영수 $ n(A) $, 질량 $ r(A) $, 결함 $ d(A) $ 를 통해 궤도를 특성화하며, $d_R$ 와 $d_N$ 를 사용하여 궤도 간의 거리를 계산하여 프레드홀름 및 준프레드홀름 연산자의 분할을 제공한다.

ABSTRACT

Let $\CR$ be the set of all bounded linear operators between Hilbert spaces $\cH, \cK$. This paper is devoted to the study of the topological properties of $\CR$ if certain natural metrics are considered on it. We also define an action of the group $\G_\cH imes\G_\cK$ on $\CR$ and determine the orbits of this action. These orbits determine a stratification of the set of Fredholm and semi-Fredholm operators. Finally, we calculate the distance, with respect to some of the metrics mentioned above, between different orbits of $\CR$.

연구 동기 및 목표

• 표준 연산자 노름 위상으로는 경로 연결성으로 인해 연산자를 구분하지 못하므로, $\mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ 의 집합에 표준 연산자 노름 위상보다 더 정교한 위상을 정의하는 것.
• 군 작용 $ (G,H) \cdot A = GAH^{-1} $ 를 통해 $\mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ 에 동차 구조를 정의하고 분석하는 것, 여기서 $ G \in \mathcal{G}_\mathcal{H}, H \in \mathcal{G}_\mathcal{K} $.
• 이 작용의 궤도를 영수 $ n(A) $, 질량 $ r(A) $, 결함 $ d(A) $ 라는 세 가지 불변량으로 특성화하여 프레드홀름 및 준프레드홀름 연산자의 분할을 제공하는 것.
• $d_R$ 와 $d_N$ 거리에 기반하여 서로 다른 궤도 간의 거리를 계산하여 $ \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ 의 구조에 기하학적 및 위상수학적 통찰을 제공하는 것.

제안 방법

• 연산자 노름을 정교화하고 범위 사영 맵의 연속성을 보장하기 위해 $ d_R(A,B) = \left( \|A - B\|^2 + \|P_{R(A)} - P_{R(B)}\|^2 \right)^{1/2} $ 를 도입한다.
• 일반적인 닫힌 범위 연산자를 부분 등장사상과 $ \mathcal{C}_P $ 에 속하는 양의 연산자와 연결하기 위해 역극성 분해 $ A = |A^*|V $ 를 사용한다.
• 고정된 범위 $ \mathcal{S} $ 를 가진 연산자 $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $ 와 $ \mathcal{C}_P \times \mathcal{PI}_\mathcal{S} $ 사이의 위상동형사를 수립하여 국소 구조를 동차 공간을 통해 연구할 수 있도록 한다.
• 군 작용 $ L' $ 을 $ \mathcal{G}_\mathcal{S} \times \mathcal{U}_\mathcal{H} $ 에서 $ \mathcal{C}_P \times \mathcal{PI}_\mathcal{S} $ 로 정의하며, $ L'(G,U)(A,V) = (GAG^*, VU^*) $ 로 주어져 궤도를 동차 공간으로 모델링한다.
• 문헌 [2] 의 결과를 적용하여 $ \pi: \mathcal{G}_\mathcal{S} \times \mathcal{U}_\mathcal{H} \to \mathcal{C}_P \times \mathcal{PI}_\mathcal{S} $ 의 지도에 대해 국소 교차 섹션을 구성하여 궤도 공간이 국소적으로 동차함을 보장한다.
• Moore-Penrose 역행렬의 연속성과 $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $ 의 분해를 활용하여 $ d_R $ 과 $ d_N $ 을 사용해 궤도 간 거리를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 노름 위상으로 경로 연결되어 있는 연산자를 구분할 수 있도록 $ \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ 에 더 정교한 위상을 정의할 수 있는가?
• RQ2 군 작용 $ (G,H) \cdot A = GAH^{-1} $ 에서 궤도의 구조는 어떻게 되며, 이는 어떤 불변량으로 특성화되는가?
• RQ3 $d_R$ 와 $d_N$ 거리는 $ \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ 의 서로 다른 궤도 간 기하학적 분리 정도를 어떻게 측정하는가?
• RQ4 $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $, 즉 고정된 범위 $ \mathcal{S} $ 를 가진 연산자 집합은 동차 공간 구조를 지닐 수 있는가, 만약 가능하다면 어떻게 이루어지는가?
• RQ5 연속적인 국소 섹션은 $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $ 가 유도된 군 작용 하에서 동차 공간으로서 실현되는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $d_R$ 는 연산자 노름보다 엄격히 정교하며, $ A \mapsto P_{R(A)} $ 맵의 연속성을 보장하여 $ \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ 에 비자명한 위상을 제공한다.
• 작용 $ (G,H) \cdot A = GAH^{-1} $ 의 궤도는 영수 $ n(A) $, 질량 $ r(A) $, 결함 $ d(A) $ 라는 세 가지 불변량으로 완전히 특성화된다.
• 연산자 $ A \in \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ 의 궤도 $ \mathcal{O}_A $ 는 $ \mathcal{G}_\mathcal{H} \times \mathcal{G}_\mathcal{K} / \text{Stab}(A) $ 와 위상동형이며, 이 작용은 국소적으로 전이적이다.
• 고정된 범위 $ \mathcal{S} $ 를 가진 연산자 집합 $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $ 는 $ \mathcal{C}_P \times \mathcal{PI}_\mathcal{S} $ 와 위상동형이며, 여기서 $ \mathcal{C}_P $ 는 범위가 $ \mathcal{S} $ 인 양의 연산자의 톰슨 성분이다.
• $d_R$ 와 $d_N$ 에서 서로 다른 궤도 간 거리는 명시적으로 계산되었으며, 그 결과는 $ n(A), r(A), d(A) $ 라는 불변량에 따라 달라진다.
• $ \pi(G,U) = (GPG^*, WU^*) $ 의 지도에 대해 연속적인 국소 교차 섹션이 존재함으로써 $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $ 는 $ \mathcal{G}_\mathcal{S} \times \mathcal{U}_\mathcal{H} $ 에서 유도된 동차 공간 구조를 상속하게 된다.