[논문 리뷰] Metric Geometry of Spaces of Persistence Diagrams

Mauricio Che, Fernando Galaz‐García외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 29.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지속 다이어그램 공간에 대한 메트릭 기하학적 프레임워크를 수립하기 위해, 각도 쌍 $(X,A)$ 에 대해 점이 있는 메트릭 공간을 할당하는 함자 $ olimits\mathcal{D}_p$ 를 도입함으로써, $p=2$ 에서 수열 연속성, 완비성, 분리 가능성, 지선성, 비음성 곡률을 증명한다. 핵심 결과는 유클리드 지속 다이어그램 공간 $ olimits\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$ 이 무한한 커버링, 하우스도르프, 그리고 점점 커지는 차원을 가진다는 것이다.

ABSTRACT

Persistence diagrams are objects that play a central role in topological data analysis. In the present article, we investigate the local and global geometric properties of spaces of persistence diagrams. In order to do this, we construct a family of functors $\mathcal{D}_p$, $1\leq p \leq\infty$, that assign, to each metric pair $(X,A)$, a pointed metric space $\mathcal{D}_p(X,A)$. Moreover, we show that $\mathcal{D}_{\infty}$ is sequentially continuous with respect to the Gromov-Hausdorff convergence of metric pairs, and we prove that $\mathcal{D}_p$ preserves several useful metric properties, such as completeness and separability, for $p \in [1,\infty)$, and geodesicity and non-negative curvature in the sense of Alexandrov, for $p=2$. For the latter case, we describe the metric of the space of directions at the empty diagram. We also show that the Fréchet mean set of a Borel probability measure on $\mathcal{D}_p(X,A)$, $1\leq p \leq\infty$, with finite second moment and compact support is non-empty. As an application of our geometric framework, we prove that the space of Euclidean persistence diagrams, $\mathcal{D}_{p}(\mathbb{R}^{2n},Δ_n)$, $1\leq n$ and $1\leq p<\infty$, has infinite covering, Hausdorff, asymptotic, Assouad, and Assouad-Nagata dimensions.

연구 동기 및 목표

• 유럽형 설정을 초월한 일반화된 지속 다이어그램 공간을 위한 체계적인 기하학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 지속 다이어그램 공간의 국소적 및 전역적 메트릭 성질—완비성, 분리 가능성, 지선성, 곡률 등—을 조사하기 위해.
• 이차 모멘트가 유한한 확률 측도에 대해 프레셰 평균 집합이 존재하고 비어 있지 않은 조건을 설정하기 위해.
• 유클리드 지속 다이어그램 공간의 점점 커지는, 커버링, 하우스도르프 차원을 결정하기 위해.
• $p$-워샤르슈타인 메트릭과 아르케소브 기하학의 기존 결과를 더 넓은 범위의 메트릭 쌍에 대해 확장하기 위해.

제안 방법

• 메트릭 쌍 $(X,A)$ 를 점이 있는 메트릭 공간 $\mathcal{D}_p(X,A)$ 로 매핑하는 함자 $\mathcal{D}_p$ 의 가족을 구성하여, 지속 다이어그램의 $p$-워샤르슈타인 메트릭을 일반화하기 위해.
• 메트릭 쌍의 그로모프-하우스도르프 수렴에 대해 $\mathcal{D}_\infty$ 가 수열 연속성을 갖는 것을 증명하기 위해.
• $p \in [1,\infty)$ 에 대해 $\mathcal{D}_p$ 가 완비성과 분리 가능성을 유지하고, $p=2$ 에 대해 지선성과 비음성 곡률(아르케소브 기준)을 유지함을 보여주기 위해.
• 보다 단순한 공간들—예를 들어 $[0,\infty)^N / S_N$—으로부터 차원 성질을 전달하기 위해 $\mathcal{D}_2(X,A)$ 에 대한 이중 리프시츠 임베딩을 사용하기 위해.
• 특히 등급 작용과 몫 사상에 대한 불변성에 기반한 점점 커지는 차원 이론의 결과를 적용하기 위해.
• $\mathcal{D}_2([0,\infty), \{0\})$ 가 무한한 점점 커지는 차원을 가지며, 이는 임의의 $N$ 에 대해 $[0,\infty)^N / S_N$ 와 등급을 이루기 때문에 이를 더 복잡한 공간으로 확장하기 위해 이를 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지속 다이어그램의 메트릭 기하학은 어떻게 유클리드 공간을 초월해 체계적으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 공간 $\mathcal{D}_p(X,A)$ 가 완비성, 분리 가능성, 또는 지선성인 조건은 무엇인가?
• RQ3 공간 $\mathcal{D}_2(X,A)$ 는 아르케소브 기준에 따라 비음성 곡률을 갖는가?
• RQ4 $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$ 의 점점 커지는, 커버링, 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ5 $\mathcal{D}_p(X,A)$ 상의 보렐 확률 측도에 대해 프레셰 평균 집합이 존재하고 비어 있지 않은 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $\mathcal{D}_\infty$ 는 메트릭 쌍의 그로모프-하우스도르프 수렴에 대해 수열 연속성이다.
• $p \in [1,\infty)$ 에 대해 $\mathcal{D}_p$ 는 기본 메트릭 쌍 $(X,A)$ 의 완비성과 분리 가능성을 유지한다.
• $p=2$ 에 대해 $\mathcal{D}_2(X,A)$ 는 아르케소브 기준에 따라 비음성 곡률을 갖는 지선 공간이다.
• 이차 모멘트가 유한하고 컴actsupport를 갖는 $\mathcal{D}_p(X,A)$ 상의 임의의 보렐 확률 측도에 대해 프레셰 평균 집합은 비어 있지 않다.
• $\mathcal{D}_2([0,\infty), \{0\})$ 는 무한한 점점 커지는 차원을 가지며, 이는 임의의 $N$ 에 대해 $[0,\infty)^N / S_N$ 와 등급을 이룬다.
• $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$, $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}_+, \Delta_n)$, $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}_{\geq 0}, \Delta_n)$ 는 모두 무한한 커버링, 하우스도르프, 그리고 점점 커지는 차원을 가진다.