[논문 리뷰] Metric Lie groups admitting dilations

Enrico Le Donne, Sebastiano Nicolussi Golo|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 한 매개변수 군의 거리 수축을 갖는 리 군 위의 왼쪽 불변 거리를 조사하며, 이러한 거리가 항상 적절한(다양체 위상과 일치함)임을 증명하고, 그러한 거리가 존재하는 데 필요한 대수적 조건을 규명한다. 주요 기여는 이러한 수축을 생성하는 유도자에 대한 완전한 특성화로, 존재성은 리 군이 연결되고 단순연결이며 노름화된다는 것을 보여주며, 무한소 생성자에 대한 스펙트럼 제약 조건이 존재함을 밝힌다.

ABSTRACT

We consider left-invariant distances $d$ on a Lie group $G$ with the property that there exists a multiplicative one-parameter group of Lie automorphisms $(0, \infty) ightarrow\mathtt{Aut}(G)$, $λ\mapstoδ_λ$, so that $ d(δ_λx,δ_λy) = λd(x,y)$, for all $x,y\in G$ and all $λ>0$. First, we show that all such distances are admissible, that is, they induce the manifold topology. Second, we characterize multiplicative one-parameter groups of Lie automorphisms that are dilations for some left-invariant distance in terms of algebraic properties of their infinitesimal generator. Third, we show that an admissible left-invariant distance on a Lie group with at least one nontrivial dilating automorphism is biLipschitz equivalent to one that admits a one-parameter group of dilating automorphisms. Moreover, the infinitesimal generator can be chosen to have spectrum in $[1,\infty)$. Fourth, we characterize the automorphisms of a Lie group that are a dilating automorphisms for some admissible distance. Finally, we characterize metric Lie groups admitting a one-parameter group of dilating automorphisms as the only locally compact, isometrically homogeneous metric spaces with metric dilations of all factors. Such metric spaces appear as tangents of doubling metric spaces with unique tangents.

연구 동기 및 목표

• 리 군에서 한 매개변수 군의 거리 수축을 갖는 왼쪽 불변 거리를 특성화하는 것.
• 그러한 수축의 무한소 생성자에 대한 필요 및 충분한 대수적 조건을 결정하는 것.
• 적절한 왼쪽 불변 거리가 적어도 하나의 비자명한 수축 자기동형사상(automorphism)을 갖는 경우, 그 거리가 한 매개변수 수축 군을 갖는 거리와 비리프시츠 등가임을 보이는 것.
• 어떤 리 군의 자기동형사상 중에서 어떤 것이 어떤 적절한 거리에 대해 수축 자기동형사상이 될 수 있는지 규명하는 것.
• 한 매개변수 수축 자기동형사상 군을 갖는 거리 리 군을 특성화하며, 모든 스케일링 요소에 대해 거리 수축을 갖는 유일한 국소 콤���, 등거리로 균일한 거리 공간임을 밝힘.

제안 방법

• 리 자기동형사상의 한 매개변수 군 이론을 사용하여, 유도자 $A \in \mathrm{Der}(\mathfrak{g})$를 통해 $A$-균일 거리($A$-homogeneous distance)를 정의한다.
• $\delta_\lambda = \lambda^A$의 군 작용을 분석함으로써 $A$-균일 거리가 적절함(다양체 위상과 일치함)임을 증명한다.
• $A$의 일반화된 고유공간에 의해 유도되는 분해와 스펙트럼 조건을 사용하여 $A$-균일 거리의 존재 조건을 특성화한다.
• 조르당-셰바레 분해를 적용하여 $A$의 반단순 및 노름화된 부분을 분리하고, 그 결과 구조를 분석한다.
• 비리프시츠 등가를 사용하여 일반적인 $A$-균일 거리를 실수 스펙트럼을 갖는 경우로 줄인다. 특히 $A$가 $\mathbb{C}$ 위에서 대각화 가능할 경우에 대해 적용한다.
• 비대칭적 $A$가 복소 고유값을 갖는 경우를 사용하여, 모든 $A$-균일 거리가 실수 스펙트럼 생성자로부터 유도되지 않음을 보여주는 반례를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 유도자 $A$에 대해 리 군 $G$ 위에 $A$-균일 거리가 존재하는가?
• RQ2 비자명한 수축 자기동형사상을 갖는 리 군 위의 모든 적절한 왼쪽 불변 거리는, 한 매개변수 수축 군을 갖는 거리와 비리프시츠 등가가 될 수 있는가?
• RQ3 어떤 리 군의 자기동형사상이 어떤 적절한 거리에 대해 수축 자기동형사상이 될 수 있는가?
• RQ4 한 매개변수 수축 자기동형사상 군을 갖는 거리 리 군의 내재 기하학적 특성은 무엇인가?
• RQ5 실수 스펙트럼 생성자 $A$를 갖는 어떤 $A$-균일 공간과도 등거리가 아닌, 거리 수축을 갖는 거리 공간이 존재하는가?

주요 결과

• 리 군 $G$ 위의 어떤 $A$-균일 거리도 적절하며, 이는 다양체 위상을 유도하므로 $G$는 반드시 연결되어야 한다.
• $A$-균일 거리가 $G$ 위에 존재하는 것은 $G$가 연결되고 단순연결이며, 모든 $t < 1$에 대해 $V_t = 0$이고, $A|_{V_1}$가 $\mathbb{C}$ 위에서 대각화 가능할 때이고, 그 때에만 성립한다.
• $A$의 스펙트럼이 직선 $1 + i\mathbb{R}$ 위에 있을 경우, 임의의 $A$-균일 거리는 또한 $\mathrm{Id}$-균일이 되며, 즉 아벨 군 위의 노름이 된다.
• 실수 스펙트럼 생성자 $A$를 갖는 어떤 $A$-균일 공간과도 등거리가 아닌 국소 콤파クト하고 등거리로 균일한 거리 공간이 존재하며, 이는 복소 스펙트럼이 반드시 필요함을 보여준다.
• 어떤 리 군에서 적절한 왼쪽 불변 거리가 적어도 하나의 비자명한 수축 자기동형사상(automorphism)을 갖는 경우, 그 거리는 스펙트럼이 $[1, \infty)$에 있는 생성자와 함께 한 매개변수 수축 군을 갖는 거리와 비리프시츠 등가이다.
• 한 매개변수 수축 자기동형사상 군을 갖는 거리 리 군은 유일하게 국소 콤파クト하고 등거리로 균일한 거리 공간이며, 모든 스케일링 요소에 대해 거리 수축을 갖는 유일한 공간이며, 이는 유일한 탄젠트를 갖는 두 배수 거리 공간의 탄젠트로 나타난다.