[논문 리뷰] Metric-locating-dominating partitions in graphs

Carmen Hernando, Mercè Ferrater Mora외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 03.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 17인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 그래프에서 메트릭-로케이팅-도메이팅 파artition의 개념을 도입하며, 두 가지 새로운 그래프 불변량인 분할 메트릭-위치-도메이션 수 $\sigma_p(G)$와 분할 차원 $s_p(G)$를 정의한다. 모든 연결 그래프에 대해 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$임을 증명하고, $\sigma_p(G) = n-1$, $\sigma_p(G) = n-2$, 또는 $s_p(G) = n-2$를 만족하는 순서 7의 모든 연결 그래프를 특성화하며, 두 불변량에 대해 날카로운 노르도우스-가드먼 경계를 제공한다.

ABSTRACT

A partition ? = { S 1 ,...,S k } of the vertex set of a connected graph G is a metric-locating partition of G if for every pair of vertices u,v belonging to the same part S i , d ( u,S j ) 6 = d ( v,S j ), for some other part S j . The partition dimension s p ( G ) is the minimum cardinality of a metric- locating partition of G . A metric-locating partition ? is called metric-locating-dominanting if for every vertex v of G , d ( v,S j ) = 1, for some part S j of ?. The partition metric-location-domination number ? p ( G ) is the minimum cardinality of a metric-locating-dominating partition of G . In this paper we show, among other results, that s p ( G ) = ? p ( G ) = s p ( G ) + 1. We also charac- terize all connected graphs of order n = 7 satisfying any of the following conditions: ? p ( G ) = n - 1, ? p ( G ) = n - 2 and s p ( G ) = n - 2. Finally, we present some tight Nordhaus-Gaddum bounds for both the partition dimension s ( G ) and the partition metric-location-domination number ? ( G ). Keywords: dominating partition, locating partition, location, domination, metric location

연구 동기 및 목표

• 연결 그래프에서 메트릭-로케이팅-도메이팅 파artition을 정의하고 연구하기.
• 분할 메트릭-위치-도메이션 수 $\\sigma_p(G)$와 분할 차원 $s_p(G)$라는 두 가지 새로운 그래프 불변량을 도입하고 분석하기.
• 순서 $n = 7$인 모든 연결 그래프 중에서 $\sigma_p(G) = n-1$, $\sigma_p(G) = n-2$, 또는 $s_p(G) = n-2$를 만족하는 그래프를 특성화하기.
• $s_p(G)$와 $\sigma_p(G)$에 대해 날카로운 노르도우스-가드먼 경계를 설정하기.
• $\sigma_p(G)$와 $s_p(G)$ 사이의 관계를 명확히 하여 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$임을 증명하기.

제안 방법

• 같은 부분에 속한 정점들이 다른 부분들까지의 거리에 의해 구별될 수 있도록 하는 메트릭-로케이팅 파artition을 정의하기.
• 모든 정점이 파artition의 적어도 한 부분과 인접하도록 하여 메트릭-로케이팅-도메이팅 파artition을 도입하기.
• 거리 기반 기준을 사용하여 파artition에서 위치 및 도메이션 성질을 보장하기.
• 극한 그래프 이론 기법을 적용하여 순서 7인 모든 연결 그래프 중 특정 $\sigma_p(G)$ 및 $s_p(G)$ 값에 해당하는 그래프를 분류하기.
• 그래프와 그 여집합의 불변량의 합과 곱을 분석하여 노르도우스-가드먼 유형 부등식 유도하기.
• 그래프 파artition의 구조적 및 거리 기반 추론을 통해 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$의 항등식을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 메트릭-위치-도메이션 수 $\sigma_p(G)$와 분할 차원 $s_p(G)$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ2 순서 $n = 7$인 어떤 연결 그래프가 $\sigma_p(G) = n-1$, $\sigma_p(G) = n-2$, 또는 $s_p(G) = n-2$를 만족하는가?
• RQ3 $s_p(G)$와 $\sigma_p(G)$에 대해 날카로운 노르도우스-가드먼 경계는 무엇인가?
• RQ4 메트릭-로케이팅-도메이팅 파artition의 성질은 표준적인 로케이팅 또는 도메이팅 파artition와 어떻게 다를까?
• RQ5 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$의 항등식은 모든 연결 그래프에 대해 일반적으로 성립하는가?

주요 결과

• 논문은 모든 연결 그래프 $G$에 대해 분할 메트릭-위치-도메이션 수가 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$임을 증명한다.
• 순서 $n = 7$인 $\sigma_p(G) = n-1$을 만족하는 모든 연결 그래프가 완전히 특성화된다.
• 순서 $n = 7$인 $\sigma_p(G) = n-2$를 만족하는 모든 연결 그래프가 완전히 특성화된다.
• 순서 $n = 7$인 $s_p(G) = n-2$를 만족하는 모든 연결 그래프가 완전히 특성화된다.
• $s_p(G)$와 $\sigma_p(G)$에 대해 날카로운 노르도우스-가드먼 경계가 확립되어, 그래프와 그 여집합의 불변량의 합과 곱에 대한 날카로운 부등식을 제공한다.
• 결과는 메트릭-로케이팅-도메이팅 파artition가 메트릭-로케이팅 파artition보다 엄밀히 더 강한 조건임을 보여주며, 이는 불변량의 $+1$ 오프셋에 반영된다.