[논문 리뷰] Metric projection and convergence theorems for nonexpansive mappings in Hadamard spaces

Hossein Dehghan, Jamal Rooin|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 05.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 5인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 쿼드라틱 선형화를 이용하여 하다르드 공간에서의 거리 사영의 변분 특성화를 수립하며, $ u = P_C x $이면 모든 $ y \in C $에 대해 $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $임을 증명한다. 그 다음으로, 비선형 사영의 고정점 집합 위로 수렴하는 강한 수렴을 보장하는 편향이 포함된 두 가지 반복 알고리즘을 제안한다.

ABSTRACT

For a nonempty convex subset $C$ of a Hadamard space $X$, it is proved that $u=P_Cx$ if and only if $\langle\overrightarrow{xu},\overrightarrow{uy} angle \geqslant0$ for all $y\in C$. As an application of this characterization, we prove strong convergence of two iterative algorithms with perturbations for nonexpansive mappings.

연구 동기 및 목표

• 쿼드라틱 선형화를 이용하여 하다르드 공간에서의 거리 사영에 대한 변분 부등식 특성화를 수립하기.
• 선형적 구조가 없는 하다르드 공간으로 비압축성 매핑에 대한 수렴 결과를 바나흐 공간에서의 결과로부터 확장하기.
• 하다르드 공간에서 고정점으로의 강한 수렴을 보장하는 편향이 포함된 반복 알고리즘을 개발하기.
• 반복 수열이 주어진 초기점에서 고정점 집합으로부터 가장 가까운 점으로 강하게 수렴함을 증명하기.
• 비선형 해석학과 최적화에서 비정규 곡률을 가진 거리 공간에 반복 방법을 적용하기 위한 기초를 마련하기.

제안 방법

• 하다르드 공간에서 내적의 대체로 쿼드라틱 선형화를 사용하여 $ \langle \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{cd} \rangle = \frac{1}{2}(d^2(a,d) + d^2(b,c) - d^2(a,c) - d^2(b,d)) $를 정의한다.
• 모든 $ y \in C $에 대해 $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $이면 $ u = P_C x $임을 증명하며, 힐버트 공간에서의 사영 특성화를 일반화한다.
• 두 가지 반복 알고리즘을 도입한다: 하나는 편향이 포함된 볼록 조합을 사용하고, 다른 하나는 매개변수를 포함한 이중 단계 반복 절차를 사용한다.
• CAT(0) 공간에서 일반화된 반연속성 원리와 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 수렴 행동을 제어한다.
• 리우의 보조정리와 형태가 $ d^2(x_{n+1}, q) \leq (1 - \gamma_n)d^2(x_n, q) + \gamma_n \delta_n + \sigma_n $인 재귀 부등식을 사용하여 수렴성을 증명한다.
• 수열의 유계성과 점근적 정규성을 활용하여 수열의 극한이 존재하고 고정점 집합에 속함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼드라틱 선형화를 이용하여 하다르드 공간에서의 거리 사영에 대한 변분 부등식 조건을 수립할 수 있는가?
• RQ2 하다르드 공간에서 비압축성 매핑에 대한 반복 알고리즘을 어떻게 설계하여 강한 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ3 매개변수와 편향에 대한 어떤 조건이 반복 수열이 고정점 집합으로 수렴하도록 보장하는가?
• RQ4 반복 수열의 극한이 초기점에서 고정점 집합으로부터 가장 가까운 점인가?
• RQ5 힐베르트/바나흐 공간에서의 수렴 결과를 비선형적이며 음의 곡률을 가진 거리 공간인 하다르드 공간으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 하다르드 공간에서의 거리 사영 $ P_C x $ 는 $ u = P_C x $이면 모든 $ y \in C $에 대해 $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $을 만족하며, 이는 변분 특성화를 제공한다.
• $ x_{n+1} = (1 - \beta_n)y_n \oplus \beta_n z_n $ 으로 정의된 반복 알고리즘은 $ y_n = \alpha_n o \oplus (1 - \alpha_n)Tx_n $ 과 $ z_n = Tx_n $ 를 포함하여 $ P_{F(T)}o $ 로 강하게 수렴한다.
• 두 번째 알고리즘은 $ x_{n+1} = (1 - \beta_n)x_n \oplus \beta_n (\alpha_n u_n \oplus (1 - \alpha_n)Tx_n) $ 로 정의되며, 유사한 조건 하에서 동일한 극한으로 강하게 수렴한다.
• 극한점 $ q $ 는 모든 $ p \in F(T) $ 에 대해 $ \langle \overrightarrow{qo}, \overrightarrow{qp} \rangle \leq 0 $ 를 만족하며, 이는 $ q = P_{F(T)}o $, 즉 $ o $ 가 고정점 집합으로의 거리 사영임을 확인한다.
• 리우의 보조정리에 따르면 조건 $ \gamma_n = \beta_n \alpha_n $, $ \sum \gamma_n = \infty $, $ \gamma_n \to 0 $, $ \delta_n \to 0 $, $ \sum \sigma_n < \infty $ 를 만족할 경우 수렴이 보장된다.
• 증명은 CAT(0) 공간에서의 코시-슈바르츠 부등식과 선형 공간에서의 내적 항등식을 대체하기 위해 쿼드라틱 선형화를 사용한다.