[논문 리뷰] Metric properties of semialgebraic mappings

Krzysztof Kurdyka, Stanisław Spodzieja외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 16.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ m > \dim X $인 폐쇄된 반대칭집합 $ X \subset \mathbb{R}^n $ 위의 과잉결정 반대칭사상 $ F: X \to \mathbb{R}^m $에 대해 국소적이고 전역적인 Łojasiewicz 지수의 효과적인 상한과 하한을 설정하며, 일반적인 선형사상 $ L $에 대해 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $ (여기서 $ k = \dim X $)의 Łojasiewicz 지수와 일치함을 증명한다. 결과적으로 복소해석기하학적 추정치를 다항도 기반의 명시적 상한을 갖는 실수 반대칭기하로 일반화한다.

ABSTRACT

We give an effective estimation from above for the local Łojasiewicz exponent for separation of semialgebraic sets and for a semialgebraic mapping on a closed semialgebraic set. We also give an effective estimation from below of the Łojasiewicz exponent in the global separation for semialgebraic sets and estimation of the Łojasiewicz exponent at infinity of a semialgebraic mapping similar to the Jelonek result in the complex case.

연구 동기 및 목표

• 복소대수기하학에서의 전역적 및 국소적 Łojasiewicz 지수 추정치를 실수 반대칭기하로 확장한다.
• 반대칭집합 간 분리 문제에 관여하는 반대칭사상에 대해 다항도 기반의 효과적인 상한 및 하한을 제시한다.
• 과잉결정 반대칭사상 $ F: X \to \mathbb{R}^m $의 Łojasiewicz 지수와 일반적인 선형사상 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $에 대해 $ k = \dim X $인 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $의 지수가 일치함을 확립한다.
• Jelonek, Cygan, Kollár 등의 고전적 결과를 실수 반대칭 사례로 일반화하며, 효과적인 정량적 제어를 제공한다.

제안 방법

• 정의 다항식의 다항도 분석을 통해 폐쇄된 반대칭집합 위의 반대칭집합 간 분리 및 반대칭사상에 대한 국소 Łojasiewicz 지수의 효과적인 상한을 유도한다.
• Jelonek의 복소기하 결과에 유사하게, 반대칭집합 간 분리 및 반대칭사상의 전역 Łojasiewicz 지수에 대해 효과적인 하한을 확립한다.
• 차원이 $ k = \dim X $인 일반적인 선형사상 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $를 사용하여 과잉결정 사상 $ F: X \to \mathbb{R}^m $을 최소차원 사상 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $로 축소한다.
• Zariski 열린성과 일반적인 선형사상의 조밀성을 활용하여 $ F $와 $ L \circ F $의 영점집합과 점근적 행동이 국소적으로 및 무한대에서 일치함을 보장한다.
• 반대칭기하학의 결과, 특히 반대칭집합 위의 사상의 근본성과 일반적인 선형사상의 성질을 활용하여 $ F $와 $ L \circ F $의 Łojasiewicz 지수를 연관시킨다.
• 영점집합과 사상의 노름 간의 부등식을 사용하여 $ |F(x)| $와 $ |L(F(x))| $를 비교하고, 비교 상수를 통해 Łojasiewicz 지수의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 반대칭집합 간 분리 또는 폐쇄된 반대칭집합 위의 반대칭사상에 대해 국소 Łojasiewicz 지수에 대한 효과적인 상한은 무엇인가?
• RQ2 반대칭집합 간 분리 또는 반대칭사상의 무한대에서의 Łojasiewicz 지수에 대해 효과적인 하한은 무엇인가?
• RQ3 과잉결정 반대칭사상 $ F: X \to \mathbb{R}^m $의 Łojasiewicz 지수는 일반적인 선형사상 $ L $에 대해 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $의 지수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 반대칭사상의 무한대에서의 Łojasiewicz 지수는 정의 다항식의 차수로 아래에서 유계임을 보일 수 있는가? 이는 복소기하의 결과를 실수 사례로 일반화하는가?

주요 결과

• 정의 다항식의 차수에 따라, 반대칭집합 간 분리 및 폐쇄된 반대칭집합 위의 반대칭사상에 대한 국소 Łojasiewicz 지수에 대한 효과적인 상한이 확립된다.
• Jelonek의 복소기하 결과에 유사하게, 반대칭집합 간 분리에 대한 전역 Łojasiewicz 지수에 대한 효과적인 하한이 유도되며, 이는 실수 반대칭기하 설정 내에서 이루어진다.
• 반대칭사상 $ F: X \to \mathbb{R}^m $의 무한대에서의 Łojasiewicz 지수는 $ F $와 $ X $를 정의하는 다항식의 차수에 따라 아래에서 유계이며, Cygan과 Jelonek의 복소기하 추정치를 일반화한다.
• 과잉결정 반대칭사상 $ F: X \to \mathbb{R}^m $ (여기서 $ m > \dim X $)에 대해, $ F $의 국소 및 전역 Łojasiewicz 지수는 일반적인 선형사상 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $에 대해 $ k = \dim X $인 $ L \circ F $의 지수와 일치한다.
• 반대칭사상 $ F $의 무한대에서의 Łojasiewicz 지수는 $ F^{-1}(0) $가 컴acts일 경우 일반적인 선형 투영 $ L $에 의해 유지되며, 이 지수는 다항도에 따라 의존하는 표현으로 아래에서 유계이다.
• 반대칭기하학에서의 일반성과 근본성의 논증을 활용하여, 영점집합과 노름 비교를 통해 $ F $와 $ L \circ F $의 Łojasiewicz 지수의 동치성이 증명된다.