[논문 리뷰] Metric Regularity. Theory and Applications - a survey

A. D. Ioffe|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 29.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 74인용 수 11

한 줄 요약

이 종합적 서베이는 변분해석학의 핵심 개념인 거리규칙성 이론에 대한 포괄적인 개요를 제시한다. 이는 이론적 기초와 최적화 및 분석 분야에서의 응용에 중점을 두며, 규칙성에 대한 거리 기준, 변화에 대한 안정성, 그리고 일반화된 방정식, 오차 경계, 미분포함수에의 응용을 제시한다. 주요 결과로는 리프시츠 조건과 개방성 조건 하에서 포함 연산자의 거리규칙성이 성립할 경우, 미분포함수의 해가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

Metric regularity has emerged during last 2-3 decades as one of the central concepts of variational analysis. The roots of this concept go back to a circle of fundamental regularity ideas of classical analysis embodied in such results as the implicit function theorem, Banach open mapping theorem, theorems of Lyusternik and Graves, on the one hand, and the Sard theorem and the Thom-Smale transversality theory, on the other. The three principal themes that are in the focus of attention are: (a) regularity criteria (containing quantitative estimates for rates of regularity) including formal comparisons of their relative power and precision; (b) stability problems relating to the effect of perturbations of the mapping on its regularity properties, on the one hand, and to solutions of equations, inclusions etc. on the other; (c) role of metric regularity in analysis and optimization. All of them are studied at three levels of generality: the general theory for (set-valued) mappings between metric spaces is followed by a detailed study of Banach and finite dimensional theories. There is a number of new results, both theoretical and relating to applications, and some known results are supplied with new, usually simpler, proofs.

연구 동기 및 목표

• 거리규칙성 이론을 변분해석학의 중심 도구로 체계화하고 최신 기술을 제시하기.
• 고전적 해석학 결과(예: 은폐함수정리 등)를 최신의 비미분 가능, 다중값 함수 설정으로 확장하기.
• 바나흐 공간과 유한차원 공간에서 거리기반 기법이 증명을 단순화하고 정량적 추정치를 제공하는 데서의 힘을 보여주기.
• 거리규칙성과 최적화의 핵심 개념(오차 경계, 제약조건 충족도, 최적제어 등) 간의 연결 고리를 설정하기.
• 통합된 거리기반 프레임워크를 통해 분석 및 최적화 분야 연구자들이 접근할 수 있는 자율적이고 이해하기 쉬운 참고자료 제공하기.

제안 방법

• 거리공간과 바나흐 공간에서의 거리 추정과 개방성 기준을 이용해 거리규칙성 이론을 수립한다.
• 특히 사상 모듈러스 $\mathrm{sur}_m$을 중심으로 국소적 및 비국소적 규칙성인 사상성 및 개방성 모듈러스를 도입하고 분석한다.
• 리프시츠 변화에 대한 안정성 분석을 위해 거리기반 은폐함수정리와 강한 규칙성을 적용한다.
• 바나흐 공간에서의 접선도함수, 코도레바티브, 부분도함수를 사용해 원천 및 쌍대 규칙성 추정치를 유도한다.
• 포함 연산자의 거리규칙성으로 귀결되는 일반화된 방정식과 미분포함수에 이론을 적용한다.
• 밀류틴 규칙성 조건과 하우스도르프 거리를 사용해 리프시츠 조건과 개방성 조건 하에서 해의 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거리 기반 도구를 사용해 비미분 가능 및 다중값 함수 설정으로 일반화된 고전적 규칙성 결과(예: 은폐함수정리)를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 바나흐 공간과 유한차원 공간에서 다중값 함수의 거리규칙성에 필요한 필수 및 충분조건은 무엇인가?
• RQ3 거리규칙성은 최적화 문제에서 오차 경계, 안정성, 부분규칙성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 선택정리나 반복 기법에 의존하지 않고 거리규칙성은 어떻게 미분포함수의 해 존재성을 증명하는 데 기여하는가?
• RQ5 거리기반 기준은 무한차원 설정에서 고전적 변분해석 기법보다 더 단순하고 투명한 증명을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 거리규칙성 이론은 고전적 결과를 일반화하고 비미분 가능 및 다중값 함수에 적용 가능한 정량적, 거리기반 프레임워크를 제공한다.
• 원래 사상의 사상 모듈러스보다 변화의 모듈러스가 작을 경우, 거리규칙성은 리프시츠 변화에 대해 보장된다.
• 미분포함수의 코시 문제에 대한 해 존재성은 포함 연산자 $I - \mathcal{F}$의 거리규칙성에 의해 확립되며, 사상 모듈러스 $\mathrm{sur}_m(I - \mathcal{F}) \geq 1 - k_\tau$의 하한이 존재한다.
• 해 $x(\cdot)$는 $[0,\tau]$에서 존재하며, $\|x(\cdot)\|_\tau < \rho$를 만족한다. 이때 $\xi_\tau = \int_0^\tau d(\dot{x}_0(t), F(t,x_0(t)))dt < (1 - k_\tau)r$ 이면 성립하며, 여기서 $k_\tau = \int_0^\tau k(t)dt$이다.
• 미분포함수의 해 존재성 증명은 반복적 또는 선택 기반 방법을 피하고 비국소적 규칙성 이론에 기반하여 자율적이다.
• 특히 무한차원 설정에서 거리규칙성 기법은 고전적 부분도함수 또는 코도레바티브 기반 접근법보다 더 단순하고 투명한 증명을 제공하는 경우가 많다.