[논문 리뷰] Metric subregularity of the convex subdifferential in Banach spaces

Francisco J. Aragón Artacho, Michel Geoffroy|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 15.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 21인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서의 볼록 서미다이퍼렌셜의 메트릭 하위정규성 및 강한 하위정규성의 특성화를 바나흐 공간으로 확장하며, 국소적 2차 성장 조건과의 동치성을 보여준다. 또한 볼록성을 가정하지 않은 아스플룬드 공간에서의 제한 서미다이퍼렌셜에 대해서는 적어도 한 가지 함의관계가 유지됨을 증명하고, 프록시멀 포인트 알고리즘과 매개변수화된 일반화된 방정식의 해 맵에 대한 수렴성에 대한 함의를 도출한다.

ABSTRACT

In [2] we characterized in terms of a quadratic growth condition various metric regularity properties of the subdifferential of a lower semicontinuous convex function acting in a Hilbert space. Motivated by some recent results in [16] where the authors extend to Banach spaces the characterization of the strong regularity, we extend as well the characterizations for the metric subregularity and the strong subregularity given in [2] to Banach spaces. We also notice that at least one implication in these characterizations remains valid for the limiting subdifferential without assuming convexity of the function in Asplund spaces. Additionally, we show some direct implications of the characterizations for the convergence of the proximal point algorithm, and we provide some characterizations of the metric subregularity and calmness properties of solution maps to parametric generalized equations.

연구 동기 및 목표

• 볼록 서미다이퍼렌셜의 메트릭 하위정규성 및 강한 하위정규성의 특성화를 힐버트 공간에서 일반 바나흐 공간으로 확장하는 것.
• 이러한 성질들이 바나흐 공간에서 함수의 국소적 2차 성장 조건과 동치임을 입증하는 것.
• 볼록성을 가정하지 않은 아스플룬드 공간에서의 제한 서미다이퍼렌셜에 대해 유사한 특성화가 성립하는지 조사하는 것.
• 하위정규성 성질에 기반한 프록시멀 포인트 알고리즘의 수렴 행동에 대한 함의를 도출하는 것.
• 해 맵의 메트릭 하위정규성과 냉정성(카르모우스니스)을 쌍대 성장 조건을 사용하여 특성화하는 것.

제안 방법

• 서미다이퍼렌셜 성질을 쌍대 함수의 성장 조건으로 변환하기 위해 펜첼 쌍대성을 활용한다.
• 특히 서미다이퍼렌셜과 그 역함수 사이의 쌍대성에 의해, 사상의 메트릭 하위정규성과 그 역함수의 메트릭 정규성 간의 동치성을 적용한다.
• 2차 성장 조건: $ c > 0 $ 가 존재하여 $ \bar{x} $ 근처에서 $ f(x) \neq f(\bar{x}) + \langle y^*, x - \bar{x} \rangle + c\|x - \bar{x}\|^2 $ 이 성립함을 통해 하위정규성을 특성화한다.
• 아스플룬드 공간에서의 제한 서미다이퍼렌셜에 대한 Mordukhovich와 Nghia(2016)의 결과를 응용하여, 볼록 함수를 초월한 함의를 확장한다.
• 매개변수화된 일반화된 방정식을 분석하기 위해 $ \nabla_x f(\bar{x}, \bar{y}) $ 의 전사성과 $ f $ 의 리프시츠 연속성 사용.
• 냉정성과 하위정규성의 특성화로써 쌍대 성장 조건(예: $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c d^2(y^*, \partial f(\bar{x})) $) 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록 서미다이퍼렌셜의 메트릭 하위정규성과 국소적 2차 성장 조건 간의 동치성은 힐버트 공간 외에도 바나흐 공간에서 성립하는가?
• RQ2 2차 성장 조건을 통한 강한 하위정규성 및 메트릭 하위정규성의 특성화는 볼록 함수를 초월해 아스플룬드 공간에서도 확장 가능한가?
• RQ3 이러한 특성화는 프록시멀 포인트 알고리즘의 수렴 속도에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 매개변수화된 일반화된 방정식의 해 맵의 냉정성 및 고립된 냉정성 성질은 쌍대 성장 조건과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 매개변수화된 일반화된 방정식의 해 맵이 기본 함수의 성장 행동으로부터 메트릭 하위정규성 또는 강한 하위정규성을 유도하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 점 $ \bar{x} $ 에서 $ \bar{y}^* $ 를 향한 볼록 서미다이퍼렌셜 $ \partial f $ 의 메트릭 하위정규성은, $ \bar{y}^* $ 근방의 이웃 $ V $ 와 상수 $ c > 0 $ 가 존재하여 모든 $ y^* \in V $ 에 대해 $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c d^2(y^*, \partial f(\bar{x})) $ 가 성립함과 동치이다.
• 점 $ \bar{x} $ 에서 $ \bar{y}^* $ 를 향한 $ \partial f $ 의 강한 하위정규성은, $ \bar{y}^* $ 근방의 이웃 $ V $ 와 상수 $ c > 0 $ 가 존재하여 모든 $ y^* \in V $ 에 대해 $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c \|y^* - \bar{y}^*\|^2 $ 가 성립함과 동치이다.
• 만약 $ \partial f $ 가 점 $ \bar{x} $ 에서 $ \bar{y}^* $ 를 향해 상수 $ \kappa $ 로 냉정성(카르모우스니스)을 갖는다면, 모든 $ c < 1/(4\kappa) $ 에 대해 공식 (4.5) 의 쌍대 성장 조건이 성립한다; 반대로, (4.5) 가 상수 $ c $ 로 성립한다면 $ \partial f $ 는 상수 $ 1/c $ 로 냉정성(카르모우스니스)을 갖는다.
• 만약 $ \partial f $ 가 점 $ \bar{x} $ 에서 $ \bar{y}^* $ 를 향해 상수 $ \kappa $ 로 고립된 냉정성(카르모우스니스) 성질을 갖는다면, 모든 $ c < 1/(4\kappa) $ 에 대해 공식 (4.6) 의 쌍대 성장 조건이 성립한다; 반대로, (4.6) 이 상수 $ c $ 로 성립한다면 $ \partial f $ 는 상수 $ 1/c $ 로 고립된 냉정성(카르모우스니스) 성질을 갖는다.
• 해 맵 $ S(x) = \{ y \mid 0 \in f(x,y) + \partial \varphi(y) \} $ 에 대해, 점 $ (\bar{x}, \bar{y}) $ 에서 메트릭 하위정규성이 성립하는 것은 공식 (4.5) 의 쌍대 성장 조건이 만족됨과 동치이다.
• 2차 성장 조건 (3.1) 이 상수 $ c > 0 $ 로 성립하고 $ f $ 의 $ y $ 에 대한 국소 리프시츠 모듈러스가 $ c $ 보다 작다면, 해 맵 $ S $ 는 점 $ \bar{x} $ 에서 $ \bar{y} $ 를 향해 고립된 냉정성(카르모우스니스) 성질을 갖는다.