[논문 리뷰] Metricizing the Euclidean Space towards Desired Distance Relations in Point Clouds

Stefan Raß, Sandra König외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 07.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 공간 ℝˡ에서 고정된 점들의 쌍별 거리가 원래 유클리드 위치와 무관하게 사용자가 정의한 임의의 거리가 되도록 보장하는 거리 함수(또는 ε-준거리)를 구성하는 방법을 제안한다. 주요 기여는 임의의 m개의 점과 그에 대응하는 거리 δᵢⱼ에 대해, 삼각 부등식 위반 폭이 최대 ε 이내가 되는 ε-준거리가 존재함을 증명하는 것이다. 이는 k-Means 및 DBSCAN과 같은 군집 알고리즘의 조작이 가능하게 한다.

ABSTRACT

Given a set of points in the Euclidean space $\mathbb{R}^\ell$ with $\ell>1$, the pairwise distances between the points are determined by their spatial location and the metric $d$ that we endow $\mathbb{R}^\ell$ with. Hence, the distance $d(\mathbf x,\mathbf y)=δ$ between two points is fixed by the choice of $\mathbf x$ and $\mathbf y$ and $d$. We study the related problem of fixing the value $δ$, and the points $\mathbf x,\mathbf y$, and ask if there is a topological metric $d$ that computes the desired distance $δ$. We demonstrate this problem to be solvable by constructing a metric to simultaneously give desired pairwise distances between up to $O(\sqrt\ell)$ many points in $\mathbb{R}^\ell$. We then introduce the notion of an $\varepsilon$-semimetric $ ilde{d}$ to formulate our main result: for all $\varepsilon>0$, for all $m\geq 1$, for any choice of $m$ points $\mathbf y_1,\ldots,\mathbf y_m\in\mathbb{R}^\ell$, and all chosen sets of values $\{δ_{ij}\geq 0: 1\leq i

연구 동기 및 목표

• 원래 유클리드 위치와 무관하게 ℝˡ 내 고정된 점들의 집합에 대해 임의로 지정된 거리를 할당할 수 있는 거리 함수를 구성할 수 있는가를 조사한다.
• 표준 거리 함수의 제약을 해결하기 위해 삼각 부등식을 추가 오차 ε로 완화하는 ε-준거리 함수를 도입함으로써, 임의의 거리 제어를 가능하게 한다.
• 이러한 거리 함수가 k-Means 및 DBSCAN과 같은 비지도 군집 알고리즘을 조작하여 사전에 정해진, 잠재적으로 악성인 결과를 낼 수 있음을 보여준다.
• 특히 거리 함수 선택의 투명성을 확보함으로써, 후행적 조작을 방지하기 위해 알고리즘 설계의 투명성과 신뢰성을 강화할 것을 주장한다.

제안 방법

• 저자는 ℝˡ × ℝˡ → ℝ을 만족하는 ε-준거리 함수 d̃를 정의하며, 이는 모든 거리 함수 공리 조건을 만족하지만 삼각 부등식은 최대 ε 범위 내에서 위반될 수 있다.
• 행렬 Q를 설계하여 가중치가 부여된 노름 ∥·∥_Q 기반의 거리 함수를 구성함으로써, 특정 점 yᵢ, yⱼ 간에 원하는 거리 δᵢⱼ를 강제로 부여한다.
• 대칭성과 정부정성은 보장되며, 동시에 삼각 부등식의 위반 폭을 제어 가능하게 하여 임의의 거리 할당이 가능하도록 한다.
• 실제 군집 알고리즘에 적용하기 위해, 구성된 d̃를 거리 함수로 삽입함으로써 결과를 사전에 결정할 수 있음을 보여준다.
• k-Means 및 DBSCAN을 대상으로 실험적으로 검증하여, 데이터나 알고리즘 로직을 변경하지 않더라도 군집 결과를 조작할 수 있음을 입증한다.
• 저자는 ε를 기계 정밀도 이하로 설정할 수 있음을 강조하여, 실질적으로 진정한 거리 함수와 구분이 불가능한 ε-준거리 함수를 구성할 수 있음을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래 유클리드 구성과 무관하게 ℝˡ 내 고정된 점들의 집합에 대해 임의로 지정된 거리를 할당할 수 있는 위상적 거리 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 ℝˡ에서 이러한 거리 함수가 임의의 쌍별 거리를 강제로 부여할 수 있는 점의 최대 수는 얼마인가?
• RQ3 삼각 부등식을 얼마나 완화해도 군집 분석에 실용적으로 사용 가능한 거리 함수의 핵심 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 이러한 완화된 거리 함수를 사용하여 k-Means 및 DBSCAN과 같은 표준 비지도 군집 알고리즘을 조작하여 사전에 정해진, 비저항성 있는 결과를 낼 수 있는가?
• RQ5 후행적 거리 함수 조작을 방지하기 위해 군집 알고리즘의 투명성과 신뢰성은 어떻게 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 유한한 m개의 점과 비음수 쌍별 거리 δᵢⱼ에 대해, ℝˡ 내에서 d̃(yᵢ, yⱼ) = δᵢⱼ 를 모든 i < j 에 대해 만족하는 ε-준거리 함수가 존재한다.
• 원래의 유클리드 거리 값이 원하는 δᵢⱼ와 관련이 없거나 일관되지 않더라도, 임의의 거리 할당이 가능하다.
• 삼각 부등식 위반 폭은 최대 ε이며, ε는 기계 정밀도 이하로 설정 가능하여 실질적으로 진짜 거리 함수와 구분이 불가능하다.
• 실험 결과, k-Means 및 DBSCAN 알고리즘이 구성된 ε-준거리를 거리 함수로 사용할 경우, 임의의 군집 결과를 사전에 결정할 수 있음을 보여준다.
• 결과적으로, 데이터와 알고리즘을 그대로 두더라도 거리 함수만 변경함으로써 군집 결과를 후행적으로 조작할 수 있는 근본적인 취약점이 드러났다.
• 본 연구는 기계 학습 분야에서 Kerckhoffs의 원칙의 필요성을 강조한다: 모든 설계 선택, 특히 거리 함수의 선택은 악성 조작을 방지하기 위해 사전에 공개되어야 한다.