[논문 리뷰] Metrics of positive Ricci curvature on quotient spaces

Lorenz Schwachhoefer, Wilderich Tuschmann|ArXiv.org|2003. 03. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자유 등급 이sovmetric 군 작용에 의한 컴팩트 동차 공간과 코호몰로지 일치 1의 다양체의 몫을 취하여, 양의 리치 곡률과 거의 비음성의 섹션 곡률을 갖는 불변 리만 계량을 가진 새로운 종류의 닫힌 다양체를 확립한다. 핵심 결과는 이러한 몫이 유한한 기본군을 가질 때에만 이러한 곡률 성질을 갖는다는 것이며, 이는 강한 곡률 및 위상수학적 제약 조건을 갖는 다양체의 새로운 예를 제공한다.

ABSTRACT

We show that any closed biquotient with finite fundamental group admits metrics of positive Ricci curvature. Also, let M be a closed manifold on which a compact Lie group G acts with cohomogeneity one, and let L be a closed subgroup of G which acts freely on M. We show that the quotient N := M/L carries metrics of nonnegative Ricci and almost nonnegative sectional curvature. Moreover, if N has finite fundamental group, then N admits also metrics of positive Ricci curvature. Particular examples include infinite families of simply connected manifolds with the rational cohomology rings and integral homology of complex and quaternionic projective spaces.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 다양체에서 양의 리치 곡률을 갖는 리만 계량을 갖는 새로운 종류의 다양체를 규명하는 것.
• 양의 또는 비음성 리치 곡률을 갖는 다양체 위에서 자유 등급 이sovmetric 군 작용에 의한 몰입 공간의 곡률 행동을 조사하는 것.
• 특히 기본군의 유한성과 같은 위상수학적 및 기하학적 조건이 이러한 몰입 공간이 양의 리치 곡률을 유지하는 데 어떤 영향을 미치는지 규명하는 것.
• 기존의 양의 리치 곡률 및 거의 비음성 섹션 곡률을 갖는 계량에 대한 결과를 바이큐얼티언트와 브리스코른 다양체의 몰입 공간을 포함한 새로운 다양체의 가족으로 확장하는 것.
• 복소수 및 허수 사영 공간의 유리수 코호몰로지 링과 동일한 코호몰로지 링을 갖는 단순연결 다양체의 구체적 예를 제시하는 것.

제안 방법

• M이 컴팩트 동차 공간 또는 코호몰로지 일치 1의 다양체이고 L이 등급을 자유롭게 작용시키는 경우, 몰입 다양체 M/L의 리치 곡률을 분석하는 것.
• 특히 브리스코른 다양체의 S1 및 Sp(1) 몰입 공간의 정수 코호몰로지 링을 계산하기 위해 Gysin 수열을 적용하는 것.
• 군 작용의 정규화군을 이용한 불변 계량 구성 기법을 통해 불변성과 곡률 성질를 제어하는 것.
• 기존의 코호몰로지 일치 1 다양체와 바이큐얼티언트의 결과를 활용하여, 양의 리치 곡률과 거의 비음성 섹션 곡률을 갖는 계량의 존재를 확립하는 것.
• 자기 연속적인 S1 및 3차원 구면 작용에 의한 브리스코른 다양체의 몰입을 통한 구체적 다양체 가족을 구성하며, 이들의 코호몰로지 링이 CP^{2m-1} 및 HP^{2m-1}과 동형임을 보이는 것.
• 몰입 다양체 위에서 S1×SU(m) 및 S1×Sp(m)의 곡률 두 개의 작용을 확인하고, 이러한 작용 하에서 등급 이sovmetric 불변성을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 등급 이sovmetric 작용에 의한 컴팩트 동차 공간 또는 코호몰로지 일치 1 다양체의 몰입 공간이 양의 리치 곡률을 갖는 계량을 가질 수 있는 조건은 무엇인가요?
• RQ2 양의 리치 곡률과 거의 비음성 섹션 곡률을 동시에 갖는 계량이 몰입 공간에서 공존할 수 있으며, 그에 따른 위상수학적 제약 조건은 무엇인가요?
• RQ3 기본군이 유한한 컴팩트 리 군의 바이큐얼티언트는 양의 리치 곡률과 거의 비음성 섹션 곡률을 갖는 계량을 가질 수 있는가요?
• RQ4 자기 연속적인 S1 및 Sp(1) 작용에 의한 브리스코른 다양체의 몰입 공간의 코호몰로지 구조는 어떻게 되며, CP^{2m-1} 및 HP^{2m-1}과 같은 알려진 공간과 어떤 관계가 있나요?
• RQ5 CP^n 및 HP^n의 유리수 코호몰로지 링을 갖는 단순연결 다양체의 새로운 예가 있으며, 이들이 동시에 양의 리치 곡률과 거의 비음성 섹션 곡률을 갖는 계량을 가질 수 있는가요?

주요 결과

• 자유 등급 이sovmetric 작용에 의한 컴팩트 동차 공간 또는 코호몰로지 일치 1 다양체의 몰입 공간이 양의 리치 곡률을 갖는 계량을 가질 수 있는 것은 그 기본군이 유한할 때에 한하여 성립한다.
• 기본군이 유한한 컴팩트 리 군 G의 모든 바이큐얼티언트 G//H는 양의 리치 곡률과 거의 비음성 섹션 곡률을 갖는 불변 계량을 가진다.
• 브리스코른 다양체의 자유 S1 및 Sp(1) 작용에 의한 몰입은 각각 CP^{2m-1} 및 HP^{2m-1}과 동형인 유리수 코호몰로지 링을 갖는 단순연결 다양체를 생성하며, 이러한 다양체는 양의 리치 곡률과 거의 비음성 섹션 곡률을 갖는 계량을 가진다.
• d ≥3 인 경우, 다양체 N^{4m-2}_d 및 ˜N^{8m-4}_d는 어떤 바이큐얼티언트와도 미분형이 아니며, 2보다 작은 코호몰로지 일치도를 갖는 리 군 작용을 하지 않는다.
• N^{4m-2}_d 및 ˜N^{8m-4}_d는 S^2 → N^{8m-2}_d → ˜N^{8m-4}_d 형태의 피브리레이션을 갖는다. 이는 구성된 계량 하에서 리만 피브리레이션이다.
• m=1 인 경우, 몰입 ˜N^4_d는 S^4와 미분형이며, 이에 대응하는 S^3-피브리레이션은 오일러 차수 d로 분류되며, 모든 비자명한 경우가 브리스코른 다양체의 몰입으로 실현된다.