[논문 리뷰] Metrizable uniform spaces

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 16.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 77인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 메트라이잭빌리티를 갖는 균일 공간 위의 몫균일구조가 메트라이잭빌리티를 갖는 위상구조를 유도함으로써, 콘, 조인, 매핑 실린더와 같은 자연스러운 호모토피 콜리미트를 메트릭 구조와 호환되게 만들 수 있음을 밝힌다. 또한, 컴acts 풍선다각형의 반복 루프 공간들이 균일 ANR임을 증명하고, 메트라이잭빌리티 설정에서 균일 ANR의 네 가지 동치 특성화를 제시하여 기하학적 및 대수적 위상수학에서의 비메트라이잭빌리티와 야생적인 함수 공간 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Three themes of general topology: quotient spaces; absolute retracts; and inverse limits - are reapproached here in the setting of metrizable uniform spaces, with an eye to applications in geometric and algebraic topology. The results include: 1) If f: A -> Y is a uniformly continuous map, where X and Y are metric spaces and A is a closed subset of X, we show that the adjunction space X\cup_f Y with the quotient uniformity (hence also with the topology thereof) is metrizable, by an explicit metric. This yields natural constructions of cone, join and mapping cylinder in the category of metrizable uniform spaces, which we show to coincide with those based on subspace (of a normed linear space); on product (with a cone); and on the isotropy of the l_2 metric. 2) We revisit Isbell's theory of uniform ANRs, as refined by Garg and Nhu in the metrizable case. The iterated loop spaces Ω^n P of a pointed compact polyhedron P are shown to be uniform ANRs. Four characterizations of uniform ANRs among metrizable uniform spaces X are given: (i) the completion of X is a uniform ANR, and the remainder is uniformly a Z-set in the completion; (ii) X is uniformly locally contractible and satisfies the Hahn approximation property; (iii) X is uniformly ε-homotopy dominated by a uniform ANR for each ε>0; (iv) X is an inverse limit of uniform ANRs with "nearly splitting" bonding maps. Several chapters are devoted primarily to exposition: (I) an introduction to uniform spaces, with a focus on the metrizable case; (V) the space of measurable functions; (VI) the space of probability measures and other measure spaces.

연구 동기 및 목표

• 비메트라이잭빌리티를 갖는 몫위상과 야생적인 함수 공간으로 인해 발생하는 기하학적 및 대수적 위상수학의 기초적 한계를 해결하기 위해.
• 메트라이잭빌리티를 갖는 균일 공간 위의 몫균일구조가 메트라이잭빌리티를 갖는 위상구조를 유도함으로써 잘 정의된 호모토피 콜리미트를 가능하게 하기 위해.
• 이스벨의 균일 ANR 이론을 메트라이잭빌리티 설정에서 재구성하여 새로운 특성화를 제시하고, 컴팩트 풍선다각형의 반복 루프 공간들이 균일 ANR임을 증명하기 위해.
• 확률 측도 공간이 캔토로비치–루빈스타인 노름을 갖는 경우 균일 수축 가능하고 균일 국소 수축 가능하며, 그의 리트랙트 성질을 분석하기 위해.

제안 방법

• 닫혀 있는 부분공간 $A$를 갖는 균일 연속 함수 $f: A \to Y$에 대해, $X \cup_f Y$의 조임 공간에 명시적인 메트릭을 구성함으로써, 몫균일구조의 메트라이잭빌리티를 확보한다.
• 몫균일구조를 이용해 콘, 조인, 매핑 실린더와 같은 호모토피 콜리미트를 정의하며, 이는 노름 선형공간 또는 $l_2$ 메트릭을 통한 표준적 구성과 일치한다.
• 균일 연장 이론과 미세균일구조를 적용하여, 완비 국소 볼록 공간으로의 균일 연속 함수가 보편 확장으로 연속적으로 연장됨을 증명한다.
• 완비화, 국소 수축 가능성, $\varepsilon$-호모토피 지배성, 거의 분할되는 연결 맵을 갖는 역극한을 통해 균일 ANR을 특성화한다.
• 확률 측도에 캔토로비치–루빈스타인 노름을 적용하여 균일 수축 가능성과 리트랙트 성질을 증명한다.
• 두건지의 연장 정리와 선형 호모토피를 사용하여, $PM_\tau(X)$, $PM_\rho(X)$, 및 $PM_\delta(X)$가 절대 리트랙트이자 균일 수축 가능함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트라이잭빌리티를 갖는 균일 공간 위의 몫균일구조가 표준 몫위상의 비메트라이잭빌리티 문제를 해결하면서 메트라이잭빌리티를 갖는 위상구조를 생성할 수 있는가?
• RQ2 노름 선형공간에서의 표준 콘, 조인, 매핑 실린더 구성 방식이 메트라이잭빌리티를 갖는 균일 공간의 범주에서 몰입균일구조를 통한 정의와 일치하는가?
• RQ3 기본점을 갖는 컴팩트 풍선다각형 $P$의 반복 루프 공간 $\Omega^nP$는 메트라이잭빌리티 설정에서 균일 ANR인가?
• RQ4 메트라이잭빌리티를 갖는 균일 공간 내에서 균일 ANR의 동치 특성화는 무엇이며, 완비화, 국소 수축 가능성, 그리고 역극한과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 확률 측도 공간이 캔토로비치–루빈스타인 노름을 갖는 경우, 어떤 조건에서 균일 AR이거나 리트랙트가 되는가?

주요 결과

• 균일 연속 함수 $f: A \to Y$와 $A$가 $X$의 닫힌 부분공간일 때, $X \cup_f Y$의 몫균일구조는 명시적인 메트릭 구성에 의해 메트라이잭빌리티를 갖는다.
• 몫균일구조를 갖는 $\mathbb{R}$ 위의 콘은 메트라이잭빌리티를 갖는다. 이는 표준 몫위상의 비메트라이잭빌리티 문제를 해결한다.
• 기본점을 갖는 컴팩트 풍선다각형 $P$의 반복 루프 공간 $\Omega^nP$는 균일 ANR이며, 균일 ANR 이론을 대수적 위상수학의 중요한 예제로 확장한다.
• 메트라이잭빌리티를 갖는 균일 공간에서 균일 ANR의 네 가지 동치 특성화가 확립되었다: (i) 완비화가 균일 ANR이고 나머지 부분이 균일 Z집합이다; (ii) 균일 국소 수축 가능하며 하한 근사 조건을 만족한다; (iii) 각 $\varepsilon > 0$에 대해 균일 ANR에 의해 $\varepsilon$-호모토피 지배된다; (iv) 거의 분할되는 연결 맵을 갖는 균일 ANR의 역극한이다.
• 확률 측도 공간 $PM_\tau(X)$, $PM_\rho(X)$, $PM_\delta(X)$는 캔토로비치–루빈스타인 노름을 갖는 경우 절대 리트랙트이자 균일 수축 가능하다.
• 단위구가 AR가 아닌 분리 가능한 메트릭 공간 $B$에 대해, $PM_\tau(B)$, $PM_\rho(B)$, $PM_\delta(B)$는 균일 AR이 아니며, 이는 균일 AR 성질이 기하적 제약 조건에 의존함을 보여준다.