[논문 리뷰] Microformal geometry

Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 25.

Advanced Topics in Algebra인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 코탄젠트 방향에서의 형식적 멱급수를 통해 정의된 형식적 캐논리컬 관계로서의 마이크로형식 사상(microformal morphisms)을 도입하여 초다양체 사이의 매끄러운 사상의 일반화를 제시한다. 이는 형식적 범주를 정의하며, 이러한 사상에 의한 역상은 비선형 대수 준동형사상을 유도한다. 이를 통해 파oisson 및 Schouten 다양체에 대한 $L_{\infty}$-사상의 구성이 가능해지고, $\alpha \to 0$ 극한에서 푸리에 적분 연산자를 통한 양자 역상과 연결된다.

ABSTRACT

We extend the category of (super)manifolds and their smooth mappings by introducing a notion of microformal or thick morphisms. They are formal canonical relations of a special form, constructed with the help of formal power expansions in cotangent directions. The result is a formal category so that its composition law is also specified by a formal power series. A microformal morphism acts on functions by an operation of pullback, which is in general a transformation. More precisely, it is a formal mapping of formal manifolds of even functions (bosonic fields), which has the property that its derivative for every function is a ring homomorphism. This suggests an abstract notion of a nonlinear algebra homomorphism and the corresponding extension of the classical algebraic-functional duality. There is a parallel fermionic version. The obtained formalism provides a general construction of $L_{\infty}$-morphisms for functions on Poisson ($P_{\infty}$-) or Schouten ($S_{\infty}$-) manifolds as pullbacks by Poisson microformal morphisms. We also show that the notion of the adjoint can be generalized to operators as a microformal morphism. By applying this to $L_{\infty}$-algebroids, we show that an $L_{\infty}$-morphism of $L_{\infty}$-algebroids induces an $L_{\infty}$-morphism of the homotopy Lie--Poisson brackets for functions on the dual vector bundles. We apply this construction to higher Koszul brackets on differential forms and to triangular $L_{\infty}$-bialgebroids. We also develop a version (for the bosonic case), whose relation with the classical version is like that of the Schrodinger equation with the Hamilton--Jacobi equation. We show that the pullbacks by microformal morphisms are the limits at $\hbar o 0$ of certain quantum pullbacks, which are defined as special form Fourier integral operators.

연구 동기 및 목표

• 초다양체 사이의 매끄러운 사상의 범주를 마이크로형식 사상—코탄젠트 방향에서의 형식적 멱급수로 구성된 형식적 캐논리컬 관계—를 도입하여 일반화한다.
• 형식적 멱급수를 사용한 형식적 합성 법칙을 이러한 사상에 대해 정의한다.
• 함수에 대한 전통적 대수적-기능적 이중성의 일반화를 위해 함수에 대한 역상 개념을 비선형 대수 준동형사상으로 확장한다.
• Poisson 또는 Schouten 다양체 위의 함수에 대한 $L_{\infty}$-사상은 파oisson 마이크로형식 사상에 의한 역상으로 구성된다.
• 연산자에 대한 수반 연산의 일반화를 수행하고, 이를 $L_{\infty}$-아르바이드에 적용하여 호모토피 리-파oisson 괄호 간의 $L_{\infty}$-사상 유도

제안 방법

• 코탄젠트 방향에서의 형식적 멱급수로부터 생성된 형식적 캐논리컬 관계로서 마이크로형식 사상을 정의한다.
• 형식적 멱급수 법칙을 사용하여 마이크로형식 사상의 합성을 형식화한다.
• 마이크로형식 사상에 의한 함수의 역상을 비선형 변환으로 표현하며, 이는 도함수의 관점에서의 링 준동형사상이다.
• 마이크로형식 사상과 파oisson 또는 Schouten 다양체 위의 함수에 대한 $L_{\infty}$-사상 간의 대응관계를 확립한다.
• 스chrödinger 방정식과 해밀턴-자비 방정식 간의 관계에 유사한 보손적 형태의 형식적 체계를 개발한다.
• 마이크로형식 역상이 특수한 형태의 푸리에 적분 연산자로 정의된 양자 역상의 고전적 극한($\hbar \to 0$)임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코탄젠트 방향에서의 멱급수를 사용하여 초다양체 사이의 매끄러운 사상은 어떻게 형식적 비선형 함수 역상으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 이러한 일반화된 사상에 대한 형식적 합성 법칙은 무엇이며, 범주 내에서 구조를 어떻게 유지하는가?
• RQ3 파oisson 또는 Schouten 다양체 위의 함수에 대한 $L_{\infty}$-사상은 마이크로형식 사상에 의한 역상으로 어떻게 구성될 수 있는가?
• RQ4 이 형식적 체계에서 수반 연산자의 개념은 어떻게 일반화되며, 그 $L_{\infty}$-아르바이드에 대한 함의는 무엇인가?
• RQ5 마이크로형식 역상의 양자적 대응은 무엇이며, 고전적 극한과의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 마이크로형식 사상은 형식적 멱급수에 의해 결정되는 합성 법칙을 갖는 형식적 범주를 제공하며, 초다양체 사이의 매끄러운 사상의 일반화이다.
• 마이크로형식 사상에 의한 역상은 짝수 함수 위에서 비선형 대수 준동형사상을 정의하며, 고전적 대수적-기능적 이중성을 일반화한다.
• 이 형식은 파oisson 마이크로형식 사상에 의해 $P_{\infty}$- 및 $S_{\infty}$-다양체 위의 함수에 대한 $L_{\infty}$-사상의 구성으로 이어진다.
• 수반 연산은 마이크로형식 사상으로서 연산자에 일반화되어, $L_{\infty}$-아르바이드의 이중 벡터다양체 위의 호모토피 리-파oisson 괄호 간의 $L_{\infty}$-사상 유도에 기여한다.
• 마이크로형식 역상은 특수한 형태의 푸리에 적분 연산자로 정의된 양자 역상의 고전적 극한($\hbar \to 0$)임이 입증된다.
• 스chrödinger 방정식과 해밀턴-자비 방정식 간의 관계에 유사한 보손적 형식의 체계가 개발되었다.