[논문 리뷰] Microlocal Morse theory of wrapped Fukaya categories

Sheel Ganatra, John Pardon외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 57인용 수 47

한 줄 요약

본 논문은 cotangent bundles가 부분적으로 멈춘 subanalytic 등방성 집합과의 부분적으로 래핑된 Fukaya 범주 간의 동등성 및 그 멈춤에서의 microsupport를 가지는 무한대 derived 카테고리의 컴팩트 객체 간의 동등성을 보이고, microlocal 프레임워크를 통해 안정적으로 편향된 Weinstein 섹터로 확장한다.

ABSTRACT

The Nadler--Zaslow correspondence famously identifies the finite-dimensional Floer homology groups between Lagrangians in cotangent bundles with the finite-dimensional Hom spaces between corresponding constructible sheaves. We generalize this correspondence to incorporate the infinite-dimensional spaces of morphisms 'at infinity', given on the Floer side by Reeb trajectories (also known as "wrapping") and on the sheaf side by allowing unbounded infinite rank sheaves which are categorically compact. When combined with existing sheaf theoretic computations, our results confirm many new instances of homological mirror symmetry. More precisely, given a real analytic manifold $M$ and a subanalytic isotropic subset $Λ$ of its co-sphere bundle $S^*M$, we show that the partially wrapped Fukaya category of $T^*M$ stopped at $Λ$ is equivalent to the category of compact objects in the unbounded derived category of sheaves on $M$ with microsupport inside $Λ$. By an embedding trick, we also deduce a sheaf theoretic description of the wrapped Fukaya category of any Weinstein sector admitting a stable polarization.

연구 동기 및 목표

• Wrap된 Fukaya 범주를 비유한 비-compact 설정에서의 연구 동기와 시어 이론과의 관계를 제시한다.
• Nadler–Zaslow를 일반화하여 무한 차원의 모듈 공간(무한 래핑)을 포함시키는 것을 목표로 한다.
• 람다(stop)에서 멈춘 래핑된 Fukaya 범주와 microsupported 시어 카테고리의 컴팩트 객체 사이의 정확한 동등성을 확립한다.

제안 방법

• 부분적으로 래핑된 Fukaya 범주 W(X, Lambda)를 Lambda에서 멈춘 상태로 정의하고 다룬다.
• 객체와 모듈을 모델링하기 위해 stratification, microlocal 시어 이론, 그리고 microlocal Morse 이론을 활용한다.
• Lambda ⊂ Lambda'의 포함 아래에서 Lambda와 그 동작을 비교하여 공리 기반의 동등성을 증명한다.
• microlocal Morse 설명과 래핑의 정확 삼각사슬을 통해 linking disks와 microstalks를 연관시킨다.
• 실수해석 Liouville manifolds X와 subanalytic isotropic stops 및 안정한 편향성으로 확장하여 microlocal 시어 카테고리로 가는 함수자를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분적으로 래핑된 Fukaya 범주가 subanalytic isotropic stop Lambda에서 멈춘 상태에서 microlocal 시어 이론으로 완전히 기술될 수 있는가?
• RQ2 Perf W(T* M, Lambda)^{op}가 Sh_Lambda(M)의 컴팩트 객체와 동등한가?
• RQ3 래핑/멈춤 연산이 시어 측의 microlocal 범주 연산과 어떻게 대응하는가?
• RQ4 cotangent bundle 케이스를 일반적인 안정된 편향성의 Weinstein 구역으로 더 확장할 수 있는가, doubling/antimicrolocalization 접근법을 통해?
• RQ5 microlocal 시어와 래핑된 Floer 이론 측면에서 호모학적 미러 대칭성에 대한 시사점은 무엇인가?

주요 결과

• 실수해석 M과 그 내부의 subanalytic isotropic Lambda에 대해 Perf W(T* M, Lambda)^{op} ≃ Sh_Lambda(M)^{c}가canonical하게 성립한다.
• 링크 disks를 smooth Legendrian 점에서의 microstalk 함수의 코-대표자로 보내고, cotangent fiber를 stalk 함수의 코-대표자로 보낸다.
• 이 결과는 Lambda에서 microsupport를 가지는 비경계적 도메인의 컴팩트 객체들로의 마음으로 연산하는 시어-이론적 설명을 제공한다.
• Lambda ↦ Perf W(T* M, Lambda)^{op}를 공리화하고, 포함관계 아래 Lambda ↦ Sh_Lambda(M)^{c}와 일치시키는 Whitney stratification과 microlocal Morse 이론에 의존한다.
• 정리 1.4는 일반적인 안정된 편향성 Liouville 다양체로의 동등성을 확장하며, Perf W(X, Lambda)^{op}를 μ sh_{c_{X, Lambda}}(c_{X, Lambda})^{c}에 삽입하고 Weinstein/homological cocores 하에서 동등성이 된다.
• 이 프레임워크는 미러 대칭에서의 많은 계산을 microlocal 시어 카테고리 계산으로 재해석하는 길을 제공한다.