[논문 리뷰] Midy's Theorem for Periodic Decimals

Joseph Lewittes|ArXiv.org|2006. 05. 07.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 6인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 임의의 밑수로 Midy의 정리를 일반화하고 주기 길이가 3, 4 이상으로 나누어떨어지는 경우까지 확장하여, 주기가 동일한 길이의 블록으로 나누어질 때 블록의 합이 $10^k - 1$의 배수임을 증명한다 (십진수에서는 9로 이루어진 문자열). 핵심 기여는 주기 분해와 모듈로 산술을 활용한 통합 프레임워크로, 이러한 '보완성'이 성립하는 조건을 특별히 분모와 밑수에 대해 정밀하게 규명한다.

ABSTRACT

The decimal expansion of 1/7 is 0.142857142857..., the block 142857 repeating forever. We call 142857 the period and its length is 6 = 2x3. If the period is broken into 2 pieces each of length 3 which are then added, the result is 142 + 857 = 999; similarly 14 + 28 + 57 = 99. Other periodic decimals show the same phenomenon while others do not. The general question then arises: Let a/N be a fraction with denominator prime to 10, having decimal expansion with period length dk, if the period is broken into d pieces of length k which are then added, when will the sum be 99...9, a block of k 9's? In 1836 E. Midy published an article analyzing this question and gave sufficient conditions in certain cases. We put the problem in a more general setting, working in an arbitrary number base B, and obtain new results. However, some open questions still remain.

연구 동기 및 목표

• 소수 분모와 짝수 주기 길이를 넘어서 복합 분모와 더 긴 주기 분할로 Midy의 정리를 확장하기.
• 주기적인 밑-$B$ 전개에서 블록의 합이 $B^k - 1$의 배수인 경우, 특히 십진수에서는 $10^k - 1$이 되는 일반적인 프레임워크를 수립하기.
• 반복 주기의 $d$-길이 블록의 합이 정확히 $B^k - 1$이 되는 조건을 규명하기.
• 장기 나눗셈 과정에서 모듈로 산술과 사이클 분해를 사용하여 Midy, Ginsberg 등 이전 결과들을 통합하고 일반화하기.
• 정의된 $m_d(x)$를 구하고, 이는 $S_d(x)/(B^k - 1)$로, 분자 $x$에 대해 일정한지 판단하기.

제안 방법

• 밑수 $B$에서의 장기 나눗셈 알고리즘을 사용하여 $x/N$의 주기적 전개를 모델링하고, 나머지 $x_i$와 숫자 $a_i$를 추적한다.
• $R_d(x)$를 $x$의 $d$-사이클에서 첫 $d$자리 숫자의 합으로 정의하고, $S_d(x)$를 이 숫자들을 연결하여 만든 정수로 정의한다.
• 모듈로 산술 적용: $S_d(x) \equiv 0 \pmod{B^k - 1}$이 되는 것은 $R_d(x) \equiv 0 \pmod{N}$이 되는 것과 동치이며, 이는 숫자 합과 나누어떨어짐 조건을 연결한다.
• 모든 $x \in N^*$에 대해 $R_d(x) \equiv 0 \pmod{N}$를 만족하는 분모 $N$의 집합 $M_d(B)$를 정의하고, 이를 통해 $m_d(x) = R_d(x)/N$의 승수를 정의한다.
• 곱셈적 순서 $e = \text{ord}_N(B)$의 구조를 활용하여 사이클을 더 작은 사이클로 분해하고, $d_1 \mid d_2 \mid e$이면 $N \in M_{d_1}(B)$이면 $N \in M_{d_2}(B)$임을 증명한다.
• 특수 식 $B^k \equiv -1 \pmod{N}$이 성립할 때 $e = 2k$이면 $x_{k+1} \equiv -x_1 \pmod{N}$이 되고, 이는 $x_{k+1} = N - x_1$을 유도하여 두 자리 숫자의 합이 9가 되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밑수 $B$에서 $x/N$의 주기 내 두 동일 길이의 블록 합이 $k$자리의 9로 이루어진 문자열이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Midy의 정리는 주기 길이가 3으로 나누어떨어지는 경우로 일반화될 수 있으며, 세 블록의 합이 $10^k - 1$이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 곱셈적 순서 $e = \text{ord}_N(B)$는 $N$이 $M_d(B)$에 속하는지 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 고정된 $N$과 $d$에 대해, 다양한 분자 $x$에 대해 $m_d(x) = S_d(x)/(B^k - 1)$의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 왜 일부 복합 분모에서는 Midy 성질이 실패하고, 다른 일부에서는 성립하는가 (예: $803$은 실패하고 $77$은 성립함), 이에 대한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $N \in M_2(10)$이면 $x/N$의 주기 두 반절의 합은 정확히 $10^k - 1$이 되며, 이는 Midy 원래 정리를 증명한다.
• 만약 $N$이 소수 또는 소수의 거듭제곱이고 $e = \text{ord}_N(10)$가 짝수이면 $N \in M_2(10)$이며, 모든 $x \in N^*$에 대해 Midy 성질이 성립한다.
• $N \in M_3(10)$이고 $e = 3k$이면, 주기의 세 개의 $k$자리 블록 합이 $10^k - 1$이 되는 조건은 $m_3(x) = 1$일 때 성립하며, 이는 $x = 1, 2$ 및 $x = 3$일 때 성립하지만 $N = 7$일 땐 성립하지 않는다.
• $N \in M_d(B)$이고 $d \mid e$이면 $m_d(x)$는 모든 $x \in N^*$에 대해 일정하며, $d = 2$일 땐 $m_d(x) = d/2$이고, 특정 조건 하에 $m_3(x) = 1$이 된다.
• $\gcd(N, 10^k - 1) = 1$이라는 조건은 $1/77$은 Midy 성질을 만족함 ($k=3$)에도 불구하고 $1/803$은 만족하지 못함 ($k=4$)을 설명하며, $\gcd(803, 10^4 - 1) = 11 \neq 1$이기 때문이다.
• $N \in M_{d_1}(B)$이고 $d_1 \mid d_2 \mid e$이면 $N \in M_{d_2}(B)$임을 보여주며, 이는 성질이 순서 $e$의 더 큰 약수로 확장됨을 보여준다.