[논문 리뷰] Mild solutions are weak solutions in a class of (non)linear measure-valued evolution equations on a bounded domain

Joep H. M. Evers|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 04.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 [0,1]에서 정의된 비선형 측도값 진화방정식의 경미한 해가 적절히 정의된 약한 공식에 따라 약한 해와 동치임을 증명한다. 이 방정식들은 해에 의존하거나 공간적으로만 의존하는 속도장에 의해 구동된다. 주요 기여는 시간 이산화된 오일러 근사에 의해 구성된 경미한 해가 약한 해로 수렴함을 증명한 것으로, 이는 경계에서의 유량 조건이 존재하는 유계 영역 내에서 물리적 및 수학적 일관성을 입증한다.

ABSTRACT

We study the connection between mild and weak solutions for a class of measure-valued evolution equations on the bounded domain $[0,1]$. Mass moves, driven by a velocity field that is either a function of the spatial variable only, $v=v(x)$, or depends on the solution $μ$ itself: $v=v[μ](x)$. The flow is stopped at the boundaries of $[0,1]$, while mass is gated away by a certain right-hand side. In previous works [J. Differential Equations, 259 (2015), pp. 1068-1097] and [SIAM J. Math. Anal., 48 (2016), pp. 1929-1953], we showed the existence and uniqueness of appropriately defined mild solutions for $v=v(x)$ and $v=v[μ](x)$, respectively. In the current paper we define weak solutions (by specifying the weak formulation and the space of test functions). The main result is that the aforementioned mild solutions are weak solutions, both when $v=v(x)$ and when $v=v[μ](x)$.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인 [0,1]에서 측도값 진화방정식에 대한 경미한 해와 약한 해의 동치성을 확립하기.
• 경계에서의 유량 조건과 해에 의존하는 속도장이 존재하는 방정식에 대해 물리적으로 일관된 약한 공식을 정의하기.
• 이전에 오일러 근사를 통해 구성된 경미한 해의 유효성을 약한 해의 프레임워크로 확장하여 수학적 및 물리적 일관성을 보장하기.
• 질량이 경계에서 멈추고 속도장이 항상 내향을 향하지 않을 수 있는 유계 영역에서 약한 해를 정의하는 데 발생하는 과제를 해결하기.

제안 방법

• 유계 도메인에 맞게 조정된 특정한 테스트 함수 공간과 $C^1_b([0,1])$ 내의 테스트 함수를 포함하는 약한 공식을 통한 약한 해의 정의.
• 각 부분구간에서 이전 시간 단계의 해로부터 유도된 고정된 속도장을 사용하는 시간 이산화 오일러 근사를 통해 경미한 해를 구성.
• 측도에 대한 포트마누테 정리와 균일한 유계성 조건을 활용하여 오일러 근사 수열이 경미한 해로 수렴함을 증명.
• 그로워스키 부등식과 $\|\cdot\|_{\mathrm{BL}}^*$-노름을 이용하여 해 수열의 총 변동량에 대한 균일한 유계성 조건을 확립.
• 우리의 수렴 조건이 비연속적인 우변 함수 $f$에 대해서도 성립하도록, 우성 수렴 정리를 적용하여 약한 공식에서 극한을 취함.
• 비선형 해에 의존하는 속도장 $v = v[\mu]$에 대해 성립하는 경미한 해의 존재성과 안정성에 관한 [16] 및 [18]의 결과를 활용하여 동치성의 일반화를 수행.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계에서의 유량 조건이 존재하는 유계 도메인 [0,1]에서 측도값 운반 방정식의 경미한 해는 적절한 약한 공식 하에 약한 해와 동치인가?
• RQ2 질량이 경계에서 멈추고 속도장이 항상 내향을 향하지 않을 경우, 측도값 방정식에 대해 일관된 약한 공식을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 경미한 해를 구성하는 데 사용된 오일러 근사 방법이 시간 메esh 크기가 0으로 수렴할 때 약한 해로 수렴하는가?
• RQ4 해에 의존하는 속도장 $v = v[\mu]$를 갖는 방정식에 대해 경미한 해와 약한 해의 동치성이 확장될 수 있는가?
• RQ5 약한 공식에서 우변 함수 $f$가 불연속적일 경우 수렴성을 유지하기 위해 필요한 기술적 도구는 무엇인가?

주요 결과

• 속도장 $v = v(x)$를 갖는 측도값 방정식 $\partial_t \mu_t + \partial_x(v\mu_t) = F_f(\mu_t)$의 경미한 해는 정리 3.5에서 약한 해임을 입증한다.
• 비선형 케이스인 $\partial_t \mu_t + \partial_x(v[\mu_t]\mu_t) = F_f(\mu_t)$에서 $v = v[\mu]$일 경우에도 동일한 동치성이 정리 4.8에서 입증된다.
• 오일러 근사 수열이 경미한 해로 수렴함을 통해, $f$가 조각별 유계 리프시츠 함수일 경우에도 약한 공식에서 극한을 취할 수 있음을 우성 수렴 정리를 통해 보여준다.
• 그로워스키 부등식을 통해 해 수열의 총 변동량에 대한 균일한 유계성 조건이 확립되어 안정성과 수렴성 보장이 가능하다.
• 약한 공식은 $C^1_b([0,1])$ 내의 테스트 함수에 대해 유효하며, $\mathrm{BL}([0,1])$ 함수에 대해 수렴하는 것으로 충분하여 극한을 취할 수 있다.
• 증명은 포트마누테 정리와 $\|\cdot\|_{\mathrm{BL}}^*$-노름 수렴에 기반하여, 극한이 약한 공식을 만족함을 보장한다.