[논문 리뷰] Mills' ratio: Reciprocal concavity and functional inequalities

Árpád Baricz|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 15.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 완전 단조성과 l’Hôpital의 정리의 단조성 형태 등의 성질을 사용하여 연속 일변량 분포의 Mills 비율이 역으로 볼록 또는 오목이 되는 데 충분한 조건을 설정한다. 감마, 로그정규, 스터디언의 t 분포의 Mills 비율에 대한 함수 부등식을 유도하며, 이는 독점 이론에 응용된다.

ABSTRACT

AbstractThis note contains sufficient conditions for the probability density function of an arbitrary continuousunivariate distribution such that the corresponding Mills ratio to be reciprocally convex (concave). Toillustrate the applications of the main results, the Mills ratio of some common continuous univariate dis-tributions, like gamma, log-normal and Student’s t distributions, are discussed in details. The applicationto monopoly theory is also summarized. Keywords: Mills ratio, Reciprocally convex (concave) functions, Monotone form of l’Hospital’s rule,Statistical distributions, Completely monotonic functions, Stieltjes transform1. IntroductionBy definition (see [Me]) a function f : [a,b] ⊆ (0,∞) → Ris said to be (strictly) reciprocally convexif x → f(x) is (strictly) concave and x → f(1/x) is (strictly) convex on [a,b]. Merkle [Me] showed thatf is reciprocally convex if and only if for all x,y ∈ [a,b] we havef2xyx +y≤f(x) + f(y)2≤ fx+y2≤xf(x) +yf(y)x+y. (1)We note here that in fact the third inequality follows from the fact that the function x → f(1/x) is convexon [a,b] if and only if x → xf(x) is convex on [a,b]. In what follows, a function g : [a,b] ⊆ (0,∞) → Rissaid to be (strictly) reciprocally concave if and only if −g is (strictly) reciprocally convex, i.e. if x → g(x)is (strictly) convex and x → g(1/x) is (strictly) concave on [a,b]. Observe that if f is differentiable, thenx → f(1/x) is (strictly) convex (concave) on [a,b] if and only if x → x

연구 동기 및 목표

• 연속 일변량 분포의 Mills 비율이 역으로 볼록 또는 오목이 되는 데 충분한 조건을 규명하는 것.
• 감마, 로그정규, 스터디언의 t 분포의 Mills 비율을 기능 부등식을 사용하여 분석하는 것.
• 이론적 결과를 경제 모델, 특히 독점 이론에 적용하는 것.
• l’Hôpital의 정리의 단조성 형태와 완전 단조 함수의 사용을 확장하여 Mills 비율을 연구하는 것.
• 역 볼록성과 분포 분석에서의 Stieltjes 변환 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 역으로 볼록 함수의 정의를 활용: f가 [a,b]에서 f(1/x)가 볼록이고 f(x)가 오목이면 f는 역으로 볼록이다.
• 비율의 단조성을 분석하기 위해 l’Hôpital의 정리의 단조성 형태를 적용하며, 특히 Mills 비율의 맥락에서 활용한다.
• Mills 비율이 역으로 볼록성을 띠게 하는 조건을 도출하기 위해 완전 단조 함수 개념을 활용한다.
• 불등식 체인 f(2xy/(x+y)) ≤ (f(x)+f(y))/2 ≤ f((x+y)/2) ≤ (xf(x)+yf(y))/(x+y)를 역으로 볼록성의 특성으로 사용한다.
• f(1/x)의 볼록성과 xf(x)의 볼록성 간의 관계를 분석하기 위해 변환 x → xf(x)를 분석한다.
• Mills 비율을 적분 표현을 통해 표현하고 연구하기 위해 Stieltjes 변환 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 일변량 분포의 Mills 비율이 어떤 조건에서 역으로 볼록 또는 오목이 되는가?
• RQ2 조화 평균과 산술 평균을 포함한 기능 부등식은 Mills 비율의 역으로 볼록성을 어떻게 특성화하는가?
• RQ3 역으로 볼록성은 감마, 로그정규, 스터디언의 t 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 l’Hôpital의 정리의 단조성 형태는 어떻게 Mills 비율의 단조성을 분석하는 데 사용되는가?
• RQ5 Mills 비율의 역으로 볼록성은 독점 이론의 모델에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 완전 단조성에 의해, 특정 매개변수 제약 조건 하에서 감마 분포의 Mills 비율은 역으로 볼록하다.
• 기저 정규 분포의 분산이 충분히 클 경우, 로그정규 분포의 Mills 비율은 역으로 볼록하다.
• 자유도가 특정 임계값을 초과할 경우, 스터디언의 t 분포의 Mills 비율은 점근적 및 단조성 분석을 통해 역으로 볼록하다.
• 역으로 볼록한 Mills 비율에 대해 불등식 체인 f(2xy/(x+y)) ≤ (f(x)+f(y))/2 ≤ f((x+y)/2) ≤ (xf(x)+yf(y))/(x+y)가 성립하며, 이는 기능적 특성화를 제공한다.
• 변환 x → xf(x)는 f(1/x)가 볼록일 경우 볼록성을 유지하므로, 역 분석에서 볼록성 기준을 활용할 수 있다.
• 독점 이론에의 응용은, 비대칭 정보 하에서 최적의 가격 전략의 구조에 Mills 비율의 역으로 볼록성이 영향을 미친다는 것을 드러낸다.