[논문 리뷰] Milnor-Lê type fibrations for subanalytic maps

Rafaella de Souza Martins, Aurélio Menegon|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 14.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^m$와 $\mathbb{R}^n$ 속의 하위해석적 집합 사이의 하위해석적 사상 $f: X \to Y$ 에 대해 밀너-레 형의 분할을 수립한다. 이는 디스크리미넌트 집합이 해석적이지 않은 경우에도 고전적 분할을 일반화한 것으로, 디스크리미넌트 집합 외부 및 그 위에서도, 계층 조건 하에서 $f$ 가 위상적으로 국소적으로 평탄한 분할을 유도함을 증명한다. 이를 위해 타깃을 하위해석적 계층으로 분해하고, $f$ 가 분할을 이루는 영역에서 작용하도록 하며, 특이점과 비해석적 설정에서 실수 및 복소 분할을 일반화한다.

ABSTRACT

We prove a Milnor-Lê type fibration theorem for a subanalytic map $f: X o Y$ between subanalytic sets $X \subset \mathbb{R}^m$ and $Y \subset \mathbb{R}^n$. Moreover, if $f$ extends to an analytic map $\mathbb{R}^m o \mathbb{R}^n$, we define the singular set and the discriminant set of $f$, in a stratified sense. Then we give Milnor-Lê type fibration theorems for $f$ outside its discriminant, as well as over it. We give examples of each situation approached in this paper.

연구 동기 및 목표

• 하위해석적 사상 $f: X \to Y$ 에서 $X \subset \mathbb{R}^m$, $Y \subset \mathbb{R}^n$, $f$ 가 $\mathbb{R}^m$ 상에서 해석적으로 연장될 수 있을 때 밀너-레 분할을 확장한다.
• 사상 $f$ 가 $\mathbb{R}^m$ 상에서 해석적으로 연장될 경우, $f$ 의 특이점 집합과 디스크리미넌트 집합을 계층적으로 정의한다.
• 디스크리미넌트 집합이 해석적이지 않더라도, 디스크리미넌트 집합 외부 및 그 위에서 모두 분할을 확립한다.
• 고전적 밀너-레 분할을 실수 하위해석적 및 계층적 설정으로 일반화한다.
• 특이점 집합이 비이sov된 경우를 포함하여 디스크리미넌트 위에서 분할이 성립하는 구체적 예를 제시한다.

제안 방법

• 비해석적 디스크리미넌트 집합을 다루기 위해 하위해석적 집합과 화이트니 계층 분할을 사용한다.
• 차원이 증가하는 하위해석적 집합의 내포 수열 $W_0 \subset \cdots \subset W_l = Z$ 으로 디스크리미넌트를 분해한다. 각각의 $W_i \setminus W_{i-1}$ 는 매끄러운 계층을 이룬다.
• 각 계층 $W_i \setminus W_{i-1}$ 에서 위상적으로 국소적으로 평탄한 분할을 적용하여, $f^{-1}(W_i \setminus W_{i-1}) \cap B \to W_i \setminus W_{i-1}$ 가 분할이 되도록 보장한다.
• 사상 $f$ 가 $\mathbb{R}^m$ 상에서 해석적으로 연장될 경우, $f$ 의 특이점 집합과 디스크리미넌트 집합을 계층적으로 정의한다.
• 디스크리미넌트 집합 $\Delta_{f_B}$ 의 부분집합으로서 $\dim W < \dim \Delta_{f_B}$ 를 만족하는 하위해석적 집합 $W \subset \Delta_{f_B}$ 를 구성하여, $\Delta_{f_B} \setminus W$ 가 매끄럽고 $f$ 가 그 위에서 분할로 제한됨을 보장한다.
• 매개변수화된 평면을 사용하여 동차 다항식 사상 $f(x) = (\sum a_{1j}x_j^p, \dots)$ 의 경우 디스크리미넌트 집합 $\Delta_{f_B}$ 를 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디스크리미넌트 집합이 해석적이지 않은 경우 하위해석적 사상에 대해 밀너-레 형 분할을 수립할 수 있는가?
• RQ2 사상 $f$ 가 $\mathbb{R}^m$ 상에서 해석적으로 연장될 경우, 하위해석적 사상의 특이점 집합과 디스크리미넌트 집합을 계층적으로 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 디스크리미넌트 집합 자체 위에서도 분할을 구성할 수 있는가? 단지 그 외부에서만 성립하는 것이 아니라.
• RQ4 비이sov된 임계점이 존재하는 경우 디스크리미넌트 위의 섬광의 위상적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 디스크리미넌트 위에서 분할이 성립하는 구체적 예를 동차 다항식 사상의 경우 포함하여 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 하위해석적 사상 $f: X \to Y$ 에 대해, $f$ 가 $\mathbb{R}^m$ 상에서 연속적으로 연장될 경우, $W_0 \subset \cdots \subset W_l = Z$ 라는 내포 수열의 하위해석적 집합이 존재하여, 각 계층 $W_i \setminus W_{i-1}$ 에서 $f$ 가 위상적으로 국소적으로 평탄한 분할을 유도한다.
• 사상 $f$ 가 $\mathbb{R}^m$ 상에서 해석적으로 연장될 경우, 디스크리미넌트 집합 $\Delta_{f_B}$ 는 하위해석적이며, $\Delta_{f_B} \setminus W$ 가 매끄럽고 $f$ 가 그 위에서 분할로 제한되는 하위해석적 부분집합 $\Delta_{f_B} \setminus W$ 로 분해된다.
• 모든 컴acts 하위해석적 집합 $B \subset \mathbb{R}^m$ 에 대해, $\mathbb{R}^n \setminus \Delta_{f_B}$ 에서의 분할이 성립하며, 이는 이전의 해석적 점근적 사례를 일반화한다.
• 동차 다항식 사상 $f(x) = (\sum a_{1j}x_j^p, \dots)$ 의 경우, 디스크리미넌트 $\Delta_{f_B}$ 는 매개변수화된 평면들의 유한한 합집합이며, $f$ 는 $\Delta_{f_B} \setminus \Sigma_\Delta$ 에서 분할을 유도한다. 여기서 $\Sigma_\Delta$ 는 디스크리미넌트의 특이점 집합이다.
• 점 $\Delta_{f_B} \setminus \Sigma_\Delta$ 에서의 섬광은 매끄러운 다양체이며, 분할은 위상적으로 국소적으로 평탄하다.
• 동차 사상의 예에서 $W = \Sigma_\Delta$ 를 명시적으로 규명하였으며, 이에 따라 $\Delta_{f_B} \setminus W$ 가 매끄럽고 $f$ 가 그 위에서 부분다양체가 되므로 분할이 성립함을 보였다.