[논문 리뷰] Mimetic Explicit Time Discretiztions

Stanly Steinberg|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 27.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 파동 방정식을 두 번째 차수 정확도, 에너지 보존, 무조건 안정성(시간 단계 제약 조건 하에서)으로 해결하기 위해 이격된 공간 및 명시적 시간 이산화를 조합한 미메틱 유한차분 방법을 제시한다. 이 방법은 연속계의 구조를 반영하는 이산 에너지 함수를 구성함으로써 발산 없는 필드 및 에너지 유사 불변량과 같은 핵심 연속체 성질을 유지한다. 이는 1차원, 2차원, 3차원에서 스칼라 방정식과 맥스웰 방정식을 대상으로 정밀도가 기계 정밀도 수준까지 정확하게 보존됨을 검증하였다.

ABSTRACT

This paper is part of a program to combine a staggered time and staggered spatial discretization of continuum mechanics problems so that any property of the continuum that is proved using vector calculus can be proven in an analogous way for the discretized system. We require that the discretizations be second order accurate and have a conserved quantity that approximates the energy for the system and guarantees stability for a reasonable constraint on the time step. We also require that the discretization is time explicit so as to avoid the solution of large system of possibly nonlinear algebraic equations. The well known Yee grid discretization of Maxwell's equations is the same as our discretization and is an early example of using a staggered space and time grid . To motivate our discussion we begin by studying the staggered time or leapfrog discretization of the harmonic oscillator and use this to introduce the modification of the energy that is conserved. Next we use systems of linear equations to motivate the definition of the modified energy for more complex systems of ordinary differential equations and then apply our ideas to the scalar wave equation in one spatial dimension. We finish by discretizing the three dimensional scalar wave and Maxwell's equations. Because the spatial discretization is mimetic, we obtain that the divergence of the electric and magnetic fields are constant when there are no sources. Using the mimetic properties the proof of this trivial and is essentially the same as in the continuum.

연구 동기 및 목표

• 파동 방정식에 대해 에너지 보존 및 발산 없는 필드와 같은 기본 연속체 성질을 유지하는 시간 명시적, 두 번째 차수 정확도의 유한차분 스킴을 개발한다.
• 연속 에너지와 유사한 이산 에너지 함수를 구성하여 시간 진화 중에 보존되며, 이로 인해 수치적 안정성을 확보한다.
• 이전에 타원형 및 포아송형 문제에 사용된 미메틱 공간 이산화를 이격된 공간-시간 격자 구조를 통해 쌍곡형 파동 시스템으로 확장한다.
• 미메틱 공간 연산자와 리프로그 시간 스텝을 조합하여 비균질성 및 이방성 물질의 안정적 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 도표 추적과 이산 스타 연산자를 통해 이산 시스템이 연속계의 대수적 구조(정확한 순서 성질 및 수반 관계 포함)를 상속받는 방식을 밝혀낸다.

제안 방법

• 두 번째 차수 파동 방정식에서 유도된 일阶계 시스템에 대해 이격된 시간(리프로그) 이산화를 사용하여 두 번째 차수 정확도와 명시적 시간 스텝을 확보한다.
• 연속 에너지와 유사한 보존 양으로 작용하는 수정된 이산 에너지 함수를 구성하며, 이는 충분히 작은 시간 단계에서 양수임을 보장한다.
• 한 쪽 격자의 절점이 다른 격자의 셀 중심과 일치하는 두 개의 이중 격자(기본 격자 및 이중 격자)를 사용하여 기울기, 컬, 발산에 대한 미메틱 공간 연산자를 가능하게 한다.
• 기본 격자와 이중 격자 간의 사상 역할을 하는 이산 스타 연산자(곱셈 연산자)를 정의하여 이중성과 일관된 내적을 보장한다.
• 이산 정확한 순서를 적용하여 미메틱 성질(예: div(curl) = 0 및 연산자 간의 호환성)이 이산 수준에서도 유지됨을 보장한다.
• 혼합(Robin 유형) 경계 조건을 통해 경계 조건을 구현하며, 모서리 점의 값은 프로그래밍 오류 없이 일관되게 처리된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파동 방정식에 대해 연속 에너지와 유사한 이산 에너지 함수를 보존하는 시간 명시적, 두 번째 차수 정확도의 유한차분 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이전에 타원형 및 포아송형 문제에 사용된 미메틱 공간 이산화를 어떻게 쌍곡형 파동 시스템으로 확장할 수 있으며, 핵심 연속체 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ3 이격 격자에서 파동 방정식의 시간에 대해 두 번째 차수 정확도와 안정성을 보장하는 이산 에너지 함수의 구조는 어떠한가?
• RQ4 기울기, 발산, 컬과 같은 이산 미분 연산자와 그 수반 연산자는 미메틱 이산화 하에서 어떻게 행동하며, 어떤 대수적 성질을 유지하는가?
• RQ5 이 방법은 비균질성 및 이방성 물질으로 일반화될 수 있는가? 이는 이산 연산자와 에너지 함수에 어떻게 반영되는가?

주요 결과

• 수치 실험에서 이산 에너지 함수는 최소 10^15 분의 1 이내로 보존되며, 실질적으로 정확한 보존이 확인되었다.
• 2차원 스칼라 파동 방정식에서 시간 및 공간에 대해 두 번째 차수 정확도를 달성하였으며, 일부 경우에서는 매개변수를 조절하면 네 번째 차수 정확도 또는 정확한 해를 보였다.
• 미메틱 공간 이산화로 인해 소스가 없는 조건에서 전기장과 자기장의 발산이 0으로 유지되며, 이는 연속계와 동일하다.
• 이산 시스템은 연속계의 정확한 순서 구조를 상속받으며, 도표 추적과 적절한 스타 연산자 정의로 인해 이산 연산자가 동일한 대수적 항등식(예: div(curl) = 0)을 만족한다.
• 이중 격자와 이산 스타 연산자의 사용은 파동 방정식에서 이방성 및 비균질성 물질 성질을 일관되게 처리할 수 있게 한다.
• 경계 조건은 혼합(Robin 유형) 형태로 구현되었으며, 모서리 점의 값 처리가 명시적 시간 스텝 방법에 영향을 주지 않았다.