[논문 리뷰] Mimicking the marginal distributions of a semimartingale

Amel Bentata, Rama Cont|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 국소 특성—드리프트, 확산, 점프 성분—을 사용하여 비연속적인 세미마르팅게일의 주변 분포를 모방하는 마르코프 과정을 구성하는 방법을 제안한다. 핵심 결과는 국소 특성의 조건부 기대값 기반 마르코프 프로젝션을 통해 비마르코프 설정으로 일반화된 콜모고로프 전진 방정식을 확장한 부분 적분미분방정식이다.

ABSTRACT

We exhibit conditions under which the flow of marginal distributions of a discontinuous semimartingale $ξ$ can be matched by a Markov process, whose infinitesimal generator is expressed in terms of the local characteristics of $ξ$. Our construction applies to a large class of semimartingales, including smooth functions of a Markov process. We use this result to derive a partial integro-differential equation for the one-dimensional distributions of a semimartingale, extending the Kolmogorov forward equation to a non-Markovian setting.

연구 동기 및 목표

• 점프를 가진 비연속적인 세미마르팅게일로 Gy€ngy(1986)의 모의 정리 확장하기.
• 주어진 세미마르팅게일의 유한차원 분포와 동일한 마르코프 과정을 그의 국소 특성으로 구성하기.
• 비마르코프 설정에서 주변 밀도의 시간 진화를 위한 전진 방정식 유도하기.
• 해당 마르코프 프로젝션의 존재 조건과 국소 마르팅게일 성질 유지 조건 설정하기.
• 시간에 따라 변화하는 레비 과정과 마르코프 과정의 함수에 대한 적용 가능성 입증하기.

제안 방법

• 세미마르팅게일의 국소 특성에서 유도된 적분미분형 생성자에 대한 마르팅게일 문제 설정을 사용한다.
• 모의 과정의 무한소 생성자는 원래 과정의 드리프트, 확산, 점프 강도의 조건부 기대값을 사용해 정의된다.
• 모의 과정은 상태에 따라 변화하는 계수를 가진 확률적 미분방정식의 약한 해로 정의된다: 드리프트 = bα(t,x), 확산 = σ√α(t,x), 레비 측도 = α(t,x)ν(dy).
• 해의 존재성과 유일성은 조건부 기대값 α(t,x) = E[θ_t | ξ_{t-} = x]의 연속성 및 유계성 조건에 기반한다.
• 주변 밀도 p_t에 대한 전진 방정식은 ∂p_t/∂t = L^*_t . p_t로 유도되며, 여기서 L^*_t는 생성자의 수반 연산자이다.
• 이 방법은 점프를 포isson 랜덤 측도로 표현하는 과정과 상태에 따라 변화하는 시간을 가진 시간에 따라 변화하는 레비 과정에 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속적인 세미마르팅게일의 주변 분포를 정확히 일치시키는 마르코프 과정을 구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 과정이 점프를 가질 경우, 세미마르팅게일의 마르코프 프로젝션은 어떤 조건에서 존재하는가?
• RQ3 점프를 가진 비마르코프 과정으로 콜모고로프 전진 방정식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 모의 구성 과정은 원래 과정의 국소 마르팅게일 성질을 유지하는가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 레비 과정은 상태에 따라 변화하는 특성을 가진 애프라인 모델보다 주변 분포를 일치시키는 데 얼마나 더 유연한가?

주요 결과

• 조건부 기대값 α(t,x) = E[θ_t | ξ_{t-} = x]의 유계성 및 연속성 조건 하에서, 구간 [0,T]에서 원래 세미마르팅게일 ξ와 동일한 유한차원 분포를 가지는 마르코프 과정 X가 존재한다.
• 세미마르팅게일 ξ_t의 주변 밀도 p_t는 다음 전진 부분 적분미분방정식을 만족한다: ∂p_t/∂t = L^*_t . p_t, 여기서 L^*_t는 국소 특성에 의해 정의된 생성자의 수반이다.
• 모의 과정 X는 계수 bα(t,x), σ√α(t,x), 강도 α(t,x)ν(dy)를 가진 확률적 미분방정식의 약한 해로 구성되며, 이로 인해 동일한 주변 법칙을 확보한다.
• 원래 과정이 마르팅게일이 아니더라도, 구성 과정은 국소 마르팅게일 성질을 유지한다.
• 이 방법은 부드러운 마르코프 과정의 함수 및 시간에 따라 변화하는 레비 과정을 포함한 광범위한 과정 클래스에 적용 가능하다.
• 분석 결과, 상태에 따라 변화하는 특성이 선형적으로 연결되어 제약이 있는 점을 감안할 때, 시간에 따라 변화하는 레비 과정은 애프라인 모델보다 주변 분포 일치에 덜 민첩할 수 있다.