[논문 리뷰] Min-Cost Flow in Unit-Capacity Planar Graphs

Adam Karczmarz, Piotr Sankowski|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 36인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 단위 용량 평면 그래프에서 최소비용 유량 문제의 Ω(m³/²) 시간 장벽을 깨는 최초의 완전 조합적 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 eO((nm)²/³ log C) 시간 복잡도를 달성한다. 이는 척도 기반 연속 최단경로 접근법과 r-분할, 그리고 효율적인 조밀한 거리 그래프 계산을 결합하여 평면 구조 내의 최단경로 질의를 가속화한다.

ABSTRACT

In this paper we give an $\widetilde{O}((nm)^{2/3}\log C)$ time algorithm for computing min-cost flow (or min-cost circulation) in unit capacity planar multigraphs where edge costs are integers bounded by $C$. For planar multigraphs, this improves upon the best known algorithms for general graphs: the $\widetilde{O}(m^{10/7}\log C)$ time algorithm of Cohen et al. [SODA 2017], the $O(m^{3/2}\log(nC))$ time algorithm of Gabow and Tarjan [SIAM J. Comput. 1989] and the $\widetilde{O}(\sqrt{n}m \log C)$ time algorithm of Lee and Sidford [FOCS 2014]. In particular, our result constitutes the first known fully combinatorial algorithm that breaks the $\widetilde{O}(m^{3/2})$ time barrier for min-cost flow problem in planar graphs. To obtain our result we first give a very simple successive shortest paths based scaling algorithm for unit-capacity min-cost flow problem that does not explicitly operate on dual variables. This algorithm also runs in $\widetilde{O}(m^{3/2}\log{C})$ time for general graphs, and, to the best of our knowledge, it has not been described before. We subsequently show how to implement this algorithm faster on planar graphs using well-established tools: $r$-divisions and efficient algorithms for computing (shortest) paths in so-called dense distance graphs.

연구 동기 및 목표

• 단위 용량 평면 다중그래프에서 최소비용 유량 문제를 위한 더 빠른 완전 조합적 알고리즘을 개발하기 위해.
• 평면 그래프에서 최소비용 유량 문제의 오랜 기간 동안 지속된 Ω(m³/²) 시간 장벽을 깨기 위해.
• 구조적 통찰을 드러내지 않는 내점법에 대한 조합적 대안을 제공하기 위해.
• 고급 데이터 구조를 사용하여 척도 기반 알고리즘의 적용 범위를 평면 그래프로 확장하기 위해.
• 일반 그래프의 O(m³/² log C) 및 평면 그래프의 eO(m¹⁰/⁷ log C)와 같은 이전의 경계를 향상시키기 위해.

제안 방법

• 명시적인 이중 변수 조작을 피하는 단위 용량 최소비용 유량 문제를 위한 새로운 연속 최단경로 척도 알고리즘을 제안한다.
• 골드버그와 타르잔의 척도 프레임워크를 r-분할을 사용하여 평면 그래프에 적용하여 효율적인 분해를 수행한다.
• 각 r-분할 조각의 경계 정점 간 최단경로를 사전 계산하기 위해 조밀한 거리 그래프(DDG)를 사용한다.
• 최단경로 탐색 중 미스캔된 간선을 유지하기 위해 동적 선조/후속자 데이터 구조를 활용한다.
• 부분 순서와 단조성 성질을 이용하여 경계 집합 내에서 다음 미스캔 간선을 효율적으로 찾는 동적 데이터 구조를 구현한다.
• r-분할 크기와 로그 인자 간의 균형을 맞추어 총 실행 시간을 최적화하며, r = n²/³m¹/³ · (log n / (log m · log² log n))²/³로 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 그래프에서 최소비용 유량 문제를 위한 완전 조합적 알고리즘이 m³/² 이하의 시간 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 r-분할과 같은 구조적 성질을 활용하여 평면 그래프에서 연속 최단경로 접근법을 가속화할 수 있는가?
• RQ3 계층적 데이터 구조를 사용하여 평면 그래프에서 동적 간선 스캔 정보를 효율적으로 유지할 수 있는가?
• RQ4 조밀한 거리 그래프와 동적 선조 구조는 총 실행 시간을 줄이는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 척도 프레임워크를 평면 그래프에 적응시켜 (nm)²/³ 의존성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 단위 용량 평면 다중그래프에서 최소비용 순환 문제에 대해 eO((nm)²/³ log C) 시간 복잡도를 달성한다.
• 이것은 일반 그래프의 경우 O(m³/² log C) 및 평면 그래프의 경우 eO(m¹⁰/⁷ log C)로 이전에 알려진 최선의 경계를 향상시킨다.
• 이 알고리즘은 평면 최소비용 유량 문제에서 Ω(m³/²) 시간 장벽을 깨는 최초의 완전 조합적 방법이다.
• r-분할과 조밀한 거리 그래프의 사용은 평면 부분그래프 간의 효율적인 최단경로 계산을 가능하게 한다.
• 선조 질의를 위한 동적 데이터 구조는 처리되지 않은 간선을 스캔하는 비용을 연산당 O(log log n)으로 줄인다.
• 최적의 파rameter 조정 하에 총 시간 복잡도는 O((nm)²/³ · log⁵/³ n · log¹/³ m / log⁴/³ log n · log(nC))이다.