[논문 리뷰] Min-max theory for free boundary minimal hypersurfaces I - regularity theory

Martin Li, Xin Zhou|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 08.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 36인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 경계가 없는 컴acts Riemannian 다양체에서 자유 경계를 가진 부드럽고 임베딩된 최소 초곡면의 존재를 입증하며, 정적 변량에 대한 min-max 구성 방법을 사용한다. 이는 자유 경계 설정에서 Almgren의 프로그램을 완성하며, 정규성과 임베딩 성질을 증명한다. 또한 비음성 Ricci 곡률과 볼록 경계 조건 하에서 이러한 초곡면의 무한한 가닥을 확장한다.

ABSTRACT

In 1960s, Almgren initiated a program to find minimal hypersurfaces in compact manifolds using min-max method. This program was largely advanced by Pitts and Schoen-Simon in 1980s when the manifold has no boundary. In this paper, we finish this program for general compact manifold with nonempty boundary. As a result, we prove the existence of a smooth embedded minimal hypersurface with free boundary in any compact smooth Euclidean domain. An application of our general existence result combined with the work of Marques and Neves shows that for any compact Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature and convex boundary, there exist infinitely many embedded minimal hypersurfaces with free boundary which are properly embedded.

연구 동기 및 목표

• 비어 있지 않은 경계를 가진 컴팩트 Riemannian 다양체에서 최소 초곡면에 대한 Almgren의 min-max 프로그램을 완성한다.
• 모든 컴팩트 유클리드 영역에서 부드럽고 임베딩된 자유 경계 최소 초곡면의 존재를 확립한다.
• 비음성 Ricci 곡률과 볼록 경계 조건 하에서 이러한 초곡면의 무한한 가닥 존재 결과를 확장한다.
• 거칠게 최소화되는 변량에 대한 자유 경계 정규성 이론을 개발하여, 재직성과 접선 원뿔의 구조를 보장한다.
• 일반적인 컴팩트 다양체에서 경계가 곡률 또는 볼록성 가정 없이도 부드럽고 임베딩된 자유 경계 최소 초곡면을 구성하는 데 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.

제안 방법

• 상대적 사이클과 변량의 호모토피 클래스를 사용하여 Almgren-Pitts min-max 이론을 자유 경계 설정에 적응시킨다.
• 이산적이고 연속적인 변형 과정을 통해 정의된 자유 경계를 가진 거의 최소화 변량의 개념을 도입한다.
• Fermi 좌표계와 튜브 이웃 영역 구성 방법을 사용하여 경계 행동과 접선 원뿔을 분석한다.
• 질량을 최소화하면서 경계 제약 조건과 호모토피 유형을 유지하기 위해 조임 절차를 적용한다.
• Fubini 유사 추론과 재직성 추정을 사용하여 변량이 일정한 양의 코드레인지의 특이 집합을 피하는 것을 보여준다.
• 좋은 치환 성질을 확립하고 원뿔 비교를 통해 접선 원뿔이 평탄함을 증명함으로써 정규성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비어 있지 않은 경계를 가진 모든 컴팩트 Riemannian 다양체에서 부드럽고 임베딩된 자유 경계 최소 초곡면이 존재하는가?
• RQ2 min-max 방법이 자유 경계 설정으로 확장되어 정규성과 임베딩 성질을 가진 정적 변량을 생성할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건이 주어진 다양체에서 이러한 초곡면의 무한한 가닥 존재를 보장하는가?
• RQ4 경계가 적절하게 접촉하지 않을 수 있는 최소 초곡면의 경계 행동을 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ5 자유 경계를 가진 거의 최소화 변량은 어떤 정규성 성질을 가지며, 이를 부드러움으로 보일 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 모든 컴팩트 유클리드 영역에서 부드럽고 임베딩된 자유 경계 최소 초곡면의 존재를 입증한다.
• 비음성 Ricci 곡률과 볼록 경계 조건을 가진 모든 컴팩트 Riemannian 다양체에서, 자유 경계를 가진 무한히 많은 적절하게 임베딩된 최소 초곡면이 존재함을 입증한다.
• 저자들은 자유 경계를 가진 거의 최소화 변량이 재직성임을 보이고, 거의 모든 점에서 평탄한 접선 원뿔을 가짐을 보여 정규성을 유도한다.
• 핵심 기술적 결과로, 재직성 변량의 경우 특정 기하적 제약 조건 하에서 Fermi 원판의 특이 집합의 측도가 0이 됨을 보였다.
• 논문은 경계에 대한 볼록성 또는 곡률 가정 없이도 제약 자유 경계 문제를 일반적으로 해결한다.
• 구성 과정은 경계가 볼록하지 않거나 다양체가 비자명한 위상 구조를 가질 경우에도 정규성과 임베딩 성질을 가진 최소 초곡면을 생성한다.