[논문 리뷰] Minimal classes of graphs of unbounded clique-width defined by finitely many forbidden induced subgraphs

Aistis Atminas, Robert Brignall외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 05.

Advanced Graph Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 클리크-너비가 유계가 아니지만 유한한 수의 금지된 부분그래프로 정의되는 두 가지 새로운 최소의 유전적 그래프 클래스—이중사슬 그래프(bichain graphs)와 스플릿 순열 그래프(split permutation graphs)—를 규명하여, 2010년 달리갈로, 레오, 토마세가 제기한 추측을 반증한다. 저자들은 또한 두 클래스 모두 두 개의 상호비가능한 레이블을 사용한 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열을 포함하고 있음을 보이며, 이러한 반사계열이 최소의 유계가 아닌 클리크-너비 클래스에서 보편적으로 나타나는지에 대한 강화된 추측을 제기한다.

ABSTRACT

We discover new hereditary classes of graphs that are minimal (with respect to set inclusion) of unbounded clique-width. The new examples include split permutation graphs and bichain graphs. Each of these classes is characterised by a finite list of minimal forbidden induced subgraphs. These, therefore, disprove a conjecture due to Daligault, Rao and Thomasse from 2010 claiming that all such minimal classes must be defined by infinitely many forbidden induced subgraphs. In the same paper, Daligault, Rao and Thomasse make another conjecture that every hereditary class of unbounded clique-width must contain a labelled infinite antichain. We show that the two example classes we consider here satisfy this conjecture. Indeed, they each contain a canonical labelled infinite antichain, which leads us to propose a stronger conjecture: that every hereditary class of graphs that is minimal of unbounded clique-width contains a canonical labelled infinite antichain.

연구 동기 및 목표

• 달리갈로, 레오, 토마세(2010)가 제기한 추측을 도전하기 위해, 모든 최소의 유전적 그래프 클래스가 클리크-너비가 무한한 경우 반드시 무한한 수의 금지된 부분그래프로 정의되어야 한다는 것에 반박한다.
• 이러한 최소 클래스들이 제시한 두 번째 추측에 따라, 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열을 포함하는지 조사한다.
• 이중사슬 그래프와 스플릿 순열 그래프가 금지된 부분그래프의 유한 집합으로 정의되는 최소의 유전적 그래프 클래스로서 클리크-너비가 무한한지 확인한다.
• 이러한 클래스들이 두 개의 상호비가능한 레이블만을 사용하여 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열을 포함하고 있음을 보여, 클리크-너비와 잘순서화의 관계를 강화한 추측을 지지한다.

제안 방법

• 이중사슬 그래프와 스플릿 순열 그래프를 유한한 최소 금지 부분그래프 집합으로 특성화하여, 클리크-너비가 무한한 최소 유전적 클래스임을 증명한다.
• 격자 기반 구조를 사용하여 이중사슬 그래프에 대한 일반화된 그래프를 구성함으로써, 부분그래프에 대한 닫힘성과 무한한 반사계열 형성 능력을 입증한다.
• 이중사슬 그래프 클래스가 클리크-너비가 무한하다는 것을 보이며, 클리크-너비가 무한히 증가하는 그래프의 수열을 포함하고 있음을 입증한다.
• 두 상호비가능한 레이블을 사용하여 {T_k^∘}라는 레이블이 부여된 무한한 반사계열을 정의하며, 각 그래프가 연속된 정점 쌍에 특정 패턴(P_4 또는 2K_2 등)을 포함하고 있음을 보여준다.
• 반사계열의 표준화성을 입증하기 위해, 이 반사계열과 유한하게 교차하는 모든 유전적 부분클래스가 레이블이 잘순서화되어 있음을 보여준다.
• 기존의 순열 클래스 이론과 Widdershins 반사계열 결과를 활용하여, 스플릿 순열 그래프에서 반사계열의 표준화성을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클리크-너비가 무한한 최소의 유전적 그래프 클래스 중에서 금지된 부분그래프의 유한 집합으로 정의되는 것이 존재하는가? 이는 닐리갈로, 레오, 토마세가 2010년 내세운 추측과 정면으로 배치된다.
• RQ2 이러한 최소 클래스들은 제시된 두 번째 추측에 따라 반드시 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열을 포함하는가?
• RQ3 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열의 존재가 클리크-너비가 무한한 것과 잘순서화의 관계를 강화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 두 개의 상호비가능한 레이블을 사용한 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열의 존재는 모든 최소의 유전적 그래프 클래스에서 클리크-너비가 무한한 경우에 보편적인 특성인가?

주요 결과

• 이중사슬 그래프 클래스는 클리크-너비가 무한한 최소의 유전적 그래프 클래스이며, 금지된 부분그래프의 유한 집합으로 특성화된다.
• 스플릿 순열 그래프 클래스 역시 클리크-너비가 무한한 최소의 유전적 그래프 클래스이며, 마찬가지로 유한한 수의 금지된 부분그래프로 정의된다.
• 두 클래스 모두 두 개의 상호비가능한 레이블만을 사용하여 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열을 포함하고 있으며, 이는 수열 {T_k^∘}를 통해 입증되었다.
• 두 클래스에서 이러한 반사계열의 존재는 강화된 추측에 대한 강력한 증거를 제공한다: 모든 최소의 유전적 그래프 클래스 중에서 클리크-너비가 무한한 경우, 최대 두 개의 상호비가능한 레이블을 사용한 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열을 포함한다.
• 결과적으로 2010년의 추측—즉, 모든 최소의 클리크-너비가 무한한 클래스는 반드시 무한한 수의 금지된 부분그래프로 정의되어야 한다—를 반박한다.
• 이러한 발견들은 표준화된 레이블이 부여된 무한한 반사계열이 최소의 클리크-너비가 무한한 클래스의 구조적 특징일 수 있음을 시사하며, 클리크-너비와 잘순서화의 관계를 더욱 깊이 있게 연결한다.