[논문 리뷰] Minimal degree H(curl) and H(div) conforming finite elements on polytopal meshes

Wenbin Chen, Yanqiu Wang|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 05.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 바리센트 좌표와 윌리엄슨 형식을 사용하여 볼록 다면체 메esh에서 최소 차수의 $H(\mathrm{curl})$ 및 $H(\mathrm{div})$ 적합한 유한요소를 구성하며, 자유도의 수를 모서리 또는 면의 수와 동일하게 최소화한다. 이 방법은 이산 de Rham 수열을 유지하고, 단순체, 평행사변형 및 기타 표준 다면체에서 고전적 요소를 재현한다.

ABSTRACT

We construct H(curl) and H(div) conforming finite elements on convex polygons and polyhedra with minimal possible degrees of freedom, i.e., the number of degrees of freedom is equal to the number of edges or faces of the polygon/polyhedron. The construction is based on generalized barycentric coordinates and the Whitney forms. In 3D, it currently requires the faces of the polyhedron be either triangles or parallelograms. Formula for computing basis functions are given. The finite elements satisfy discrete de Rham sequences in analogy to the well-known ones on simplices. Moreover, they reproduce existing H(curl)-H(div) elements on simplices, parallelograms, parallelepipeds, pyramids and triangular prisms. Approximation property of the constructed elements is also analyzed, by showing that the lowest-order simplicial Nedelec- Raviart-Thomas elements are subsets of the constructed elements on arbitrary polygons and certain polyhedra.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 볼록 다면체에서 자유도의 수를 최소화한 $H(\mathrm{curl})$ 및 $H(\mathrm{div})$ 적합한 유한요소를 개발한다.
• 일반화된 바리센트 좌표를 사용하여 유한요소 외적 미적분 프레임워크를 비단순체 다면체 메쉬로 확장한다.
• 구성된 유한요소가 이산 de Rham 복합체를 만족하여 고전적 요소의 핵심 성질을 유지함을 보장한다.
• 기존의 단순체, 평행사변형 및 평행육면체에서의 $H(\mathrm{curl})$ 및 $H(\mathrm{div})$ 요소들을 임의의 볼록 다각형 및 다면체로 일반화한다.
• 기저 함수에 대한 명시적 공식을 제공하고 구성된 요소의 근사 성질을 분석한다.

제안 방법

• 다면체에서 일반화된 바리센트 좌표를 사용하여 $H(\mathrm{curl})$ 및 $H(\mathrm{div})$ 공간의 기저 함수를 정의한다.
• 일반화된 바리센트 좌표를 통해 윌리엄슨 형식을 확장하여 벡터값 유한요소 기저 함수를 정의한다.
• 자유도의 수가 모서리 수(일반화된 $H(\mathrm{curl})$의 경우) 또는 면 수(일반화된 $H(\mathrm{div})$의 경우)와 동일하게 유지되어 최소화됨을 보장한다.
• 구성된 유한요소 공간 간의 호환성을 확보하여 이산 de Rham 수열이 유지됨을 보장한다.
• 기저 함수는 정점-모서리 및 면-모서리 인cidene 행렬을 포함하는 선형 시스템을 풀어 계산된다.
• 이 방법은 해의 일致성과 해의 존재를 유지하기 위해 3차원 다면체의 면이 삼각형 또는 평행사변형 뿐인 경우에 국한된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 볼록 다면체 메쉬에서 자유도의 수를 최소화한 $H(\mathrm{curl})$ 및 $H(\mathrm{div})$ 적합한 유한요소를 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 바리센트 좌표를 어떻게 사용하여 윌리엄슨 형식을 비단순체 다면체로 확장할 수 있는가?
• RQ3 결과로 얻어진 유한요소 공간이 일반적인 다면체 메쉬에서 이산 de Rham 복합체의 구조를 유지하는가?
• RQ4 제안된 요소들이 단순체, 평행사변형 및 평행육면체에서 고전적 $H(\mathrm{curl})$ 및 $H(\mathrm{div})$ 요소를 재현할 수 있는가?
• RQ5 임의의 다각형 및 특정 다면체에서 구성된 최소 차수 요소의 근사 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 구성된 $H(\mathrm{curl})$ 및 $H(\mathrm{div})$ 유한요소는 다면체의 모서리 수 또는 면 수와 동일한 최소 자유도를 달성한다.
• 이 방법은 단순체에서 고전적인 수열과 유사하게 이산 de Rham 복합체를 유지함을 보장한다.
• 최저차수의 단순체 Nédélec 및 Raviart-Thomas 요소는 임의의 다각형 및 특정 다면체에서 구성된 요소의 부분집합이다.
• 기저 함수는 정점, 모서리 및 면 간의 인cidene 행렬을 포함하는 선형 시스템의 해를 통해 명시적으로 계산 가능하다.
• 이 방법은 면이 삼각형 또는 평행사변형뿐인 3차원 다면체에 대해 유효하며, 계수 복구를 위한 시스템의 해가 존재함을 보장한다.
• 이 방법은 기존의 단순체, 평행사변형, 평행육면체, 각뿔 및 삼각기둥에서의 $H(\mathrm{curl})$ 및 $H(\mathrm{div})$ 요소들을 일반화한다.