[논문 리뷰] Minimal Entropy of States Emerging from Noisy Quantum Channels

Christopher King, Mary Beth Ruskai|ArXiv.org|1999. 11. 17.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 노이즈가 있는 큐비트 채널을 통해 전송되는 양자 상태의 최소 엔트로피를 조사하며, 유일한 채널의 텐서곱에 대해 최소 엔트로피의 가환성에 강력한 증거를 제공한다. 제품 상태가 최소 엔트로피를 달성함을 증명하고, 최소 엔트로피의 가환성이 홀로보 용량의 가환성으로 이어지며, 이는 비유일 채널에서만 초가환성이 가능하다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the minimal entropy of qubit states transmitted through two uses of a noisy quantum channel, which is modeled by the action of a completely positive trace-preserving (or stochastic) map. We provide strong support for the conjecture that this minimal entropy is additive, namely that the minimum entropy can be achieved when product states are transmitted. Explicitly, we prove that for a tensor product of two unital stochastic maps on qubit states, using an entanglement that involves only states which emerge with minimal entropy cannot decrease the entropy below the minimum achievable using product states. We give a separate argument, based on the geometry of the image of the set of density matrices under stochastic maps, which suggests that the minimal entropy conjecture holds for non-unital as well as for unital maps. We also show that the maximal norm of the output states is multiplicative for most product maps on $n$-qubit states, including all those for which at least one map is unital. For the class of {\it unital} channels on ${\bf C}^2$, we show that additivity of minimal entropy implies that the Holevo capacity of the channel is {\it additive} over two inputs, achievable with orthogonal states, and equal to the Shannon capacity. This implies that superadditivity of the capacity is possible only for non-unital channels.

연구 동기 및 목표

• 노이즈가 있는 양자 채널을 두 번 사용할 때 도출되는 상태에 대한 최소 엔트로피의 가환성을 조사하는 것.
• 결합된 입력 상태가 제품 상태로 달성 가능한 것보다 출력 엔트로피를 낮출 수 있는지 여부를 확인하는 것.
• 최소 엔트로피의 가환성이 양자 채널의 홀로보 용량에 미치는 영향을 탐색하는 것.
• 유일 채널과 비유일 채널이 엔트로피와 용량의 가환성에 미치는 역할을 조사하는 것.
• 제품 맵에 대해 최대 출력 노름이 곱셈성을 가지는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 완전히 양성 추적보존 맵이 큐비트 밀도 행렬에 작용하는 방식을 분석하여 노이즈가 있는 양자 채널을 모델링하는 것.
• 확률적 맵에 의해 밀도 행렬의 상(image)에 대한 기하학적 분석을 사용하여 최소 엔트로피 추측을 뒷받침하는 것.
• 유일 맵의 텐서곱에 대해 최소 엔트로피가 결합 상태가 아니라 제품 상태에서 달성됨을 증명하는 것.
• 출력 노름의 곱셈성을 적용하여 대부분의 제품 맵에 대해 최대 출력 노름이 곱셈적임을 보이는 것.
• 수직 상태 입력을 통해 최소 엔트로피의 가환성과 홀로보 용량의 가환성 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 엔트로피 측정 및 양자 상태의 볼록 기하학을 포함한 양자 정보 이론 기법을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈가 있는 양자 채널을 두 번 사용할 때, 결합된 입력 상태가 제품 상태의 것보다 출력 엔트로피를 낮출 수 있는가?
• RQ2 노이즈가 있는 양자 채널에서 도출되는 상태의 최소 엔트로피는 채널의 텐서곱에 대해 가환적인가?
• RQ3 최소 엔트로피의 가환성이 채널의 홀로보 용량의 가환성으로 이어지는가?
• RQ4 유일 채널과 비유일 채널이 엔트로피와 용량의 가환성에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ5 제품 맵에 대해 최대 출력 노름이 곱셈성이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 큐비트에 대한 유일한 확률적 맵의 텐서곱에 대해 최소 출력 엔트로피는 결합 입력이 아닌 제품 상태에서 달성된다.
• 최소 엔트로피 추측은 유일 채널과 비유일 채널 모두에 적용 가능한 확률적 맵에 의해 밀도 행렬의 상에 대한 기하학적 분석을 통해 지지된다.
• 대부분의 제품 맵에 대해 n-큐비트 상태에 대해 최대 출력 노름이 곱셈적이다. 이는 적어도 하나의 맵이 유일할 경우를 포함한다.
• 유일 큐비트 채널에 대해 최소 엔트로피의 가환성은 두 입력에 대해 홀로보 용량의 가환성을 의미하며, 수직 상태로 달성 가능하다.
• 홀로보 용량의 초가환성은 비유일 채널에서만 가능하며, 최소 엔트로피의 가환성은 유일 채널에서는 그러한 행동을 배제한다.
• 결과적으로 최소 엔트로피의 가환성과 채널의 샤논 용량 사이에 직접적인 연결 고리가 확립되며, 이는 유일성의 중요성을 부각시킨다.