[논문 리뷰] Minimal hypersurfaces and boundary behavior of compact manifolds with nonnegative scalar curvature

Siyuan Lu, Pengzi Miao|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 23.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 32인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 비정적 스칼라 곡률이 비음성인 컴팩트 리만다이언만에서 내부 최소 초곡면과 외부 경계 성분의 가중 총 평균 곡률을 포함한 공간 슈바르츠실트 만델라의 질량과 관련된 날카로운 부등식을 수립한다. 최소 초곡면과 슈바르츠실트 공간에의 등장각 임베딩을 통합함으로써, 저자들은 리만-펜로즈 부등식을 함의하고 점점 커지는 극한에서 ADM 질량을 복원하는 준국소 질량 부등식을 도출한다. 이는 고전적인 시-타오 정리를 블랙홀 수평면 효과를 포함하도록 확장한다.

ABSTRACT

On a compact Riemannian manifold with boundary having positive mean curvature, a fundamental result of Shi and Tam states that, if the manifold has nonnegative scalar curvature and if the boundary is isometric to a strictly convex hypersurface in the Euclidean space, then the total mean curvature of the boundary is no greater than the total mean curvature of the corresponding Euclidean hypersurface. In $3$-dimension, Shi-Tam's result is known to be equivalent to the Riemannian positive mass theorem. In this paper, we provide a supplement to Shi-Tam's result by including the effect of minimal hypersurfaces on the boundary. More precisely, given a compact manifold $Ω$ with nonnegative scalar curvature, assuming its boundary consists of two parts, $Σ_h$ and $Σ_o$, where $Σ_h$ is the union of all closed minimal hypersurfaces in $Ω$ and $Σ_o$ is isometric to a suitable $2$-convex hypersurface $Σ$ in a spatial Schwarzschild manifold of positive mass $m$, we establish an inequality relating $m$, the area of $Σ_h$, and two weighted total mean curvatures of $Σ_o$ and $ Σ$. In $3$-dimension, the inequality has implications to both isometric embedding and quasi-local mass problems. In a relativistic context, our result can be interpreted as a quasi-local mass type quantity of $ Σ_o$ being greater than or equal to the Hawking mass of $Σ_h$. We further analyze the limit of such quasi-local mass quantity associated with suitably chosen isometric embeddings of large coordinate spheres of an asymptotically flat $3$-manifold $M$ into a spatial Schwarzschild manifold. We show that the limit equals the ADM mass of $M$. It follows that our result on the compact manifold $Ω$ is equivalent to the Riemannian Penrose inequality.

연구 동기 및 목표

• 비정적 스칼라 곡률이 비음성인 컴팩트 만델라에서 내부 최소 초곡면의 존재를 고려하여 시-타오 정리를 확장하는 것.
• 슈바르츠실트 만델라의 질량, 최소 초곡면의 면적, 외부 경계의 가중 총 평균 곡률을 포함하는 기하 부등식을 수립하는 것.
• 유도된 부등식이 3차원에서 리만-펜로즈 부등식과 동치임을 보이는 것.
• 비정적 평탄한 3차원 만델라에서 큰 좌표 구면에 관련된 준국소 질량 양이 슈바르츠실트 공간에 대한 적절한 등장각 임베딩을 통해 원래 만델라의 ADM 질량으로 수렴함을 보이는 것.

제안 방법

• 저자들은 공간 슈바르츠실트 만델라 $ \mathbb{M}^{n+1}_m $ 상에서 정적 잠재함수 $ N = \frac{1 - \frac{m}{2}|x|^{1-n}}{1 + \frac{m}{2}|x|^{1-n}} $ 를 사용하여 경계 성분의 총 평균 곡률 적분에 가중치를 부여한다.
• 질량 $ m $, 내부 최소 초곡면 $ \Sigma_H $의 면적, $ \Sigma_O $와 그 슈바르츠실트 모델 $ \Sigma $ 상의 평균 곡률 적분에 대한 핵심 부등식 (1.1) 을 유도한다.
• 증명은 외부 경계 $ \Sigma_O $ 가 $ 2 $-볼록 초곡면 $ \Sigma \subset \mathbb{M}^{n+1}_m $ 에 등장각 임베딩 가능하며, $ \overline{\mathrm{Ric}}(\nu,\nu) \leq 0 $ 를 만족함을 전제로 한다.
• 점점 커지는 근사 분석을 위해, 비정적 평탄한 3차원 만델라 $ M $ 의 큰 좌표 구면 $ S_r $ 을 고려하고, 그들의 체적과 평균 곡률 적분을 모델 슈바르츠실트 공간의 것과 비교한다.
• 차이 $ V(r) - V_m(r) $ 를 계산하고, 이가 점점 커질 때 $ 2\pi(\mathfrak{m} - m)r^2 + o(r^2) $ 와 같이 행동함을 보여, 이 극한이 ADM 질량 $ \mathfrak{m} $ 와 연결됨을 입증한다.
• 준국소 질량 함수의 변분적 해석과 극한 분석을 통해 리만-펜로즈 부등식과의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정적 스칼라 곡률이 비음성인 컴팩트 만델라에서 내부 최소 초곡면의 기여를 포함하여 시-타오 정리를 강화할 수 있는가?
• RQ2 등장각 임베딩 조건 하에, 슈바르츠실트 만델라의 질량, 내부 수평면의 면적, 외부 경계의 총 평균 곡률을 연결하는 기하 부등식이 존재하는가?
• RQ3 큰 구면의 등장각 임베딩을 통해 정의된 준국소 질량 양의 극한이 원래 만델라의 ADM 질량을 복원하는가?
• RQ4 유도된 부등식은 3차원에서 리만-펜로즈 부등식과 동치인가?

주요 결과

• 논문은 부등식 $ m + \frac{1}{n\omega_n}\int_\Sigma N H_m \, d\sigma \geq \frac{1}{2}\left(\frac{|\Sigma_H|}{\omega_n}\right)^{\frac{n-1}{n}} + \frac{1}{n\omega_n}\int_{\Sigma_O} N H \, d\sigma $ 를 수립하며, 등호가 성립하는 것은 $ \Sigma_H $ 가 비어 있지 않으며 $ H = H_m $ 인 경우에 국한된다.
• 3차원에서 이 부등식은 외부 경계의 준국소 질량이 내부 최소 표면의 하킹 질량보다 크거나 같음을 함의한다.
• 비정적 평탄한 3차원 만델라에서 큰 좌표 구면을 따라 준국소 질량 함수의 극한은 $ \lim_{r\to\infty}\left(m + \frac{1}{8\pi}\int_{S_r} N(H_m - H)\,d\sigma\right) = \mathfrak{m} $ 를 통해 ADM 질량과 일치함을 보였다.
• 체적 차이 $ V(r) - V_m(r) $ 는 점점 커질 때 $ V(r) - V_m(r) = 2\pi(\mathfrak{m} - m)r^2 + o(r^2) $ 와 같이 점점 커지며, 이는 리만-펜로즈 부등식과의 동치성을 증명한다.
• 한국어로는 제시된 결과는 변분적 해석과 필링-인 상의 함수 기능의 극한 행동을 통해 3차원에서 리만-펜로즈 부등식과 동치임을 확인한다.