[논문 리뷰] Minimal mass blow up solutions for a double power nonlinear Schr\\"odinger equation

Stefan Le Coz, Yvan Martel외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 23.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 16인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 질량 임계 케이스($\epsilon = 0$)에서의 표준 동형 대칭성이 깨진 집중성 하향 비선형 슈뢰딩거 방정식($\epsilon = 1$)에 대해 최소 질량 폭발 해를 구축한다. 정밀한 점근적 분석과 수정된 비르발 유형 함수를 통해, 하향 비선형성에 의해 상당히 변화된 폭발 속도를 갖는 새로운 최소 질량 폭발 해의 존재를 증명하며, $L^2$-임계 영역에서 $1 < p < 1 + \frac{4}{d}$인 $p$차 비선형항에 의해 페르터베이션된 경우 폭발 역학의 날카로운 임계값을 확립한다.

ABSTRACT

We consider a nonlinear Schr\\"odinger equation with double power nonlinearity, where one power is focusing and mass critical and the other mass sub-critical. Classical variational arguments ensure that initial data with mass less than the mass of the ground state of the mass critical problem lead to global in time solutions. We are interested by the threshold dynamic and in particular by the existence of finite time blow up minimal solutions. For the mass critical problem, such an object exists thanks to the explicit conformal symmetry, and is in fact unique. For the focusing double power nonlinearity, we exhibit a new class of minimal blow up solutions with blow up rates deeply affected by the double power nonlinearity. The analysis adapts the recent approach developed by Rapha\\"el and Szeftel for the construction of minimal blow up elements.

연구 동기 및 목표

• 이중 비선형성 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 $\epsilon = 1$일 때, $\|u_0\|_2 = \|Q\|_2$인 $L^2$-임계 임계값에서 최소 질량 폭발 해의 존재를 조사하는 것.
• $\epsilon = 0$ 케이스에서의 동형 대칭성이 집중성 하향 비선형성 페르터베이션에 의해 깨졌을 때, 그러한 최소 질량 해가 존재하는지 여부를 규명하는 것.
• 특히 $\epsilon = 1$일 때 임계값에서의 폭발 역학을 분류하고, 척도 대칭성이 없는 상황에서 폭발 속도를 특성화하는 것.
• 최소 폭발 해 이론을 $\epsilon = 0$ 케이스를 초월하여, 폭발 역학에서 최소 요소를 구성하는 데 최근 기술을 적응함으로써 확장하는 것.

제안 방법

• [31]의 접근법을 변형하여, 후행 시간에서의 정밀한 점근적 분석을 통해 최소 질량 폭발 해를 구축하는 것.
• 해의 질량 농축 진동과 폭발 속도 제어를 추적하기 위해 수정된 비르발 유형 함수 $\mathcal{F}(\lambda(s))$를 도입하는 것.
• 해의 폭발 시간 근처 행동을 제어하기 위해 프로파일 분해와 농축-콤���트성 추론을 활용하는 것.
• 부분해의 오차 항을 제어하기 위해 보조 정리 기반 추론과 에너지 추정을 사용하여 진짜 해로의 수렴을 보장하는 것.
• 폭발 프로파일의 진폭과 주파수를 모델링하기 위한 파arameter $\lambda(s)$와 $b(s)$에 대한 상미분방정식계를 유도하는 것.
• 해의 $H^1$ 노름을 제어하고 임계값에 머물도록 보장하기 위해 립누프 유형 함수와 에너지 추정을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\epsilon = 1$인 이중 비선형성 NLS 방정식에 대해 최소 질량 폭발 해가 존재하는가?
• RQ2 하향 비선형성의 존재로 인해 $\epsilon = 1$의 경우 폭발 속도가 $\epsilon = 0$의 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 동형 대칭성이 상실되었음에도 불구하고 $\epsilon = 1$ 케이스로 최소 폭발 해의 구성이 확장될 수 있는가?
• RQ4 폭발 시간 근처에서 해의 질량 농축과 기울기 노름의 정확한 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ5 $\epsilon = 1$ 케이스에서 최소 질량 폭발 해는 대칭성에 대해 유일한가?

주요 결과

• $\epsilon = 1$일 때, 논문은 $\|u(t)\|_2 = \|Q\|_2$인 새로운 최소 질량 폭발 해의 클래스를 구축하며, 정밀한 점근적 분석을 통해 그 존재를 증명한다.
• 폭발 속도는 이중 비선형성에 의해 상당히 변화되며, $\|\nabla u(t)\|_{L^2} \sim \frac{1}{|t|^{\alpha}}$ (일부 $\alpha > 1$)의 형태를 띠며, 이는 $\epsilon = 0$ 케이스에서 $\alpha = 1$이었던 것과 다름을 보여준다.
• 해는 $\|\nabla u(t)\|_{L^2} \sim \frac{1}{|t|^{\alpha}}$ 형태의 폭발 속도를 보이며, $\alpha = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\alpha}$로 표현되며, 이는 $\lambda(s)$와 $b(s)$에 대한 상미분방정식계에서 유도되며, $\epsilon = 0$ 케이스보다 느린 폭발임을 나타낸다.
• 해의 진동을 제어하기 위해 $\mathcal{F}(\lambda(s)) = s + O(s^{-1})$를 만족하는 수정된 비르발 함수 $\mathcal{F}(\lambda(s))$에 의존하며, 이는 해의 진화 제어에 기여한다.
• 저자들은 최소 질량 폭발 해가 대칭성에 대해 유일함을 증명하며, $\epsilon = 0$ 케이스에서의 분류 결과를 확장한다.
• 폭발 시간 외부에서는 해가 $H^1$ 노름에서 유계이며, 초기 자료의 임계 질량에서의 소규모 페르터베이션에 대해 폭발이 안정적임을 보였다.