[논문 리뷰] Minimal modified energy control for fractional linear control systems with the Caputo derivative

Dorota Mozyrska, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 19.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 24인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 캐프토 도함수를 가진 분수선형 제어계를 위한 최소 수정 에너지 제어 법칙을 제안하며, 수정된 관계 가능 그람 행렬을 사용하여 최적의 조종 제어를 유도한다. 주요 기여는 기능 ∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt를 최소화하는 최소 에너지 제어의 명시적 공식을 제공하는 것으로, α→1일 때 고전적 결과로 수렴한다.

ABSTRACT

Fractional control systems with the Caputo derivative are considered. The modified controllability Gramian and the minimum energy optimal control problem are investigated. Construction of minimizing steering controls for the modified energy functional are proposed.

연구 동기 및 목표

• 분수선형 제어계의 최소 에너지 최적 제어 문제를 캐프토 도함수를 가진 경우에 대해 다루는 것.
• t=T에서의 특이성을 제거하는 수정된 에너지 기능을 개발하여 잘 정의된 최적화를 가능하게 하는 것.
• 임의의 초기 상태에서 목표 최종 상태로 시스템을 이송하는 최적 제어 법칙의 명시적 공식을 도출하는 것.
• 시스템이 가측성과 최적 제어가 유일하게 정의되는 조건을 설정하는 것.
• 분수차수 설정에서 고전적 선형 제곱제어 결과를 일반화하는 것 (α∈(0,1]에서)

제안 방법

• t=T에서 캐프토 도함수의 특이성을 다루기 위해 수정된 에너지 기능 ∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt를 도입한다.
• α-지수행렬 함수 eα^At = t^(α−1)Eα,α(At^α)를 사용하여 수정된 가용성 그람 행렬 QT를 정의한다.
• 수정된 에너지 기능에 대한 변분법을 통해 최적 제어 u̅(t) = B^T S(T−t)^T Q_T^(-1) (b − S₀(T)a)를 유도한다.
• 분수적 적분과 도함수의 부분적 통합(정리 2.2 및 2.5)을 사용하여 리만-리우빌 도함수와 캐프토 도함수를 연결한다.
• Riemann–Liouville 도함수를 사용한 대안적 제어 법칙을 구성하며, 이는 û(t) = K₁ψ(t) + K₂D^α_0+ψ(t) + ⋯ + K_n R^{α,n−1}_{0+}ψ(t)로 표현되며, 여기서 ψ(t) = g(t)(b − S₀(T)a)φ(t)이다.
• 가용성과 제어 법칙 유도를 위해 행렬 항등식 [A|B]K = I를 활용하며, 랭크 조건 rank[A|B] = n을 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 t=T에서의 특이성으로 인해 잘 정의되지 않을 수 있는 분수차수 제어계의 최소 에너지 제어 문제를 어떻게 재정의할 수 있는가?
• RQ2 수정된 에너지 기능 ∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt를 최소화하는 최적 제어 법칙의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 시스템이 가용성인 조건은 무엇이며, 이는 수정된 그람 행렬 QT의 비특이성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 QT의 역행렬을 구하지 않고도 최적 제어를 시스템 행렬 A와 B의 형태로 직접 표현할 수 있는가?
• RQ5 분수차수 α가 1에 수렴할 때 결과가 고전적 선형 제어 이론로 어떻게 수렴하는가?

주요 결과

• 수정된 에너지 기능을 최소화하는 최적 제어는 u̅(t) = B^T S(T−t)^T Q_T^(-1) (b − S₀(T)a)로 주어지며, 여기서 S(t) = t^(α−1)/Γ(α)이고 S₀(t) = 1이다.
• 수정된 그람 행렬 QT는 QT = ∫₀ᵀ S(T−t) B B^T S(T−t)^T dt로 정의되며, 이의 비특이성은 가용성과 동치이다.
• α→1일 때 최적 제어는 고전적 LQR 해로 수렴한다: u̅(t) = B^T e^{A^T(T−t)} (b − e^{AT}a).
• 최소 수정 에너지 값은 m = ||Q_T^(-1/2)(b − S₀(T)a)||²로 주어지며, 스칼라 경우에서는 m = Γ²(α)(b−a)²/T로 명시적으로 계산된다.
• Riemann–Liouville 도함수를 사용한 대안적 제어 법칙 û(t) = K₁ψ(t) + K₂D^α_0+ψ(t) + ⋯ + K_n R^{α,n−1}_{0+}ψ(t)가 유도되었으며, 이는 랭크 조건 rank[A|B] = n을 만족할 때 유효하다.
• 제어 û(t)는 시간 T에서 상태를 a에서 b로 성공적으로 이동시키며, 수정된 기능에 대해 에너지를 최소화한다.